Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

На рис. 2. Представлены результаты расчета зависимостей 𝑼 и 𝑾 от нормированной частоты.
4.0



Параметры моды
3.0

2.0

1.0

0.0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Нормированная частота
Рис. 2. Параметры основной моды в сердцевине и оболочке.

Полная мощность основной моды определяется выражением:

𝑃₀ = ^|𝐴^|2𝑁, (3)
где A ‒ амплитуда моды, N ‒ коэффициент нормировки:





𝜋𝑎²𝑛_𝑐0 𝗌₀ 𝑉² 𝐾²⁽𝑊⁾

𝑁 =
2 ^√𝜇₀ 𝑈² 𝐾²(𝑊)
, (4)

0

1
где 𝜀₀ = 8.85 ∙ 10⁻¹² Ф/м ‒ диэлектрическая проницаемость свободного пространства;
𝜇₀ = 1.257 ∙ 10⁻⁶Гн/м ‒ магнитная восприимчивость свободного пространства.
Для расчета потерь мощности, связанных с частичным излучением поля на изгибе, можно использовать приближенную модель волокна, согласно которой изогнутое волокно представляется токовой антенной бесконечно малой толщины, излучающей в неограниченную среду с показате- лем преломления, равным показателю преломления оболочки.

В рамках приближения слабонаправляющего волновода излученная мощность не зависит от состояния поляризации волны, при условии Rс >> a. Для этого случая полная излученная из изог- нутого волокна мощность будет равна:
𝜋𝑅² 𝜇 𝑉² |𝐼 |² 𝜋

^𝑃𝑟𝑎𝑑 ⁼ 𝑐 ^√ 0
^𝑐 ∫ ^{𝐽2 (𝑘𝑅 𝑛}
sin 𝜃) sin³ 𝜃 𝑑𝜃, (5)

8𝑎²
𝗌₀ 𝑛_𝑐0 ∆
₀ 𝑣
𝑐 𝑐𝑙

где 𝑉 = 𝛽𝑅_𝑐; величина Ic задается выражением:

𝐼_𝑐 = −2𝜋𝑖𝐴𝑛<sub>𝑐0


0</sub> 0
^𝑎𝑉√^2∆𝗌0 ∫^{∞[1 − 𝑓(𝑅)] 𝐹 (𝑅)𝑅𝑑𝑅. (6)}
𝜇₀

Доля мощности, излученная из петли длиной 2πRc, определяется отношением полной излу- ченной мощности к начальной мощности моды:

^𝑃𝑟𝑎𝑑 ₌ ^√𝜋
𝑃
|^𝐼𝑐|2 √^𝑅𝑐
𝜇₀ 𝑉²
√
_𝑉2
3/2
^𝑛𝑛̃0 𝑒𝑥𝑝 (− ^{4𝑅𝑐∆𝑊}3). (7)

₀ 32 𝐴
𝑎 𝗌₀ 𝑛_𝑐0 𝑊
𝑁∆
3𝑎𝑉

2
Из (6-7) следует, что часть мощности, теряемая на единице длины, или коэффициент зату- хания мощности γ (Нп/м):


_∞ 2


√
_{𝛾 = 𝜋𝑉}⁸ _{exp (− 4𝑅𝑐∆𝑊}³₎ ^[∫₀ ^{(1−𝑓(𝑅))𝐹}₀^{(𝑅)𝑅𝑑𝑅]} _{. (8)}

16𝑎𝑅 𝑊³
3𝑎𝑉^2
∞ 𝐹²(𝑅)𝑅𝑑𝑅

𝑐 ^∫_{0 0}

Доминирующей в этом выражении является экспоненциальная зависимость коэффициента затухания от отношения радиуса изгиба к радиусу сердцевины волокна, т.к. при 𝑅_𝑐 >> 𝑎 коэффи- циент затухания очень мал и относительно «нечувствителен» к остальным множителям выраже- ния (8).

Из (8) можно получить выражение для коэффициента затухания мощности основной моды изогнутого слабонаправляющего волокна со ступенчатым профилем показателя преломления:

2 3


𝛾 = ^{√𝜋 𝑎 𝑉 √𝑊} 𝑒𝑥𝑝 (− ^{4𝑅𝑐∆𝑊} ). (9)

2𝑎 ^√𝑅_𝑛̃
𝑈2
3𝑎𝑉²

Полученное выражение для коэффициента затухания мощности основной моды в изогнутом
волокне со ступенчатым профилем показателя преломления (5) не учитывает эффектов, связанных с тем, что поперечные размеры сердцевины волокна конечны. Это можно учесть, умножив коэф- фициент затухания, рассчитанный по выражению (8), на масштабный множитель M:
^∞(1−𝑓(𝑅))𝐹 (𝑅)𝐼 (𝑊𝑅)𝑅𝑑𝑅 ²

𝑀 = [^∫0
0 0 _]
. (10)

^∞(1−𝑓(𝑅))𝐹 (𝑅)𝑅𝑑𝑅
∫_{0 0}
Для волокна со ступенчатым профилем показателя преломления (10) примет вид:
_𝑈2 2

1
^{𝑀 = [}𝑊𝑉²𝐾 (𝑊)^]
. (11)

Отметим, что выражение (10) с учетом (11) может быть представлено в виде:

_{𝛾 =} √^{𝜋 𝑎}
_𝑈2
¹ exp (− ^{4𝑅𝑐∆𝑊}3). (12)

2
2𝑎 ^√𝑅_𝑛̃ 𝑉²𝑊^3/2 𝐾²(𝑊)
3𝑎𝑉²

Рис. 3. Качественное представление сдвигов поля основной моды, обусловленных одиночным изгибом (а); двумя изгибами с противоположными радиусами кривизны (б) и различными радиусами изгиба (в).

Кроме потерь на излучение, связанных с изгибом волокон, существуют переходные потери, обусловленные резким изменением радиуса кривизны изгиба, как это показано на рисунке 3 в се- чении АА’.

Причиной потерь здесь является рассогласование потерь, и поэтому падающее поле возбуж- дает не только локальные моды, но и моды излучения, которые и определяют переходные потери.
Основное влияние изгиба на поле основной моды проявляется в сдвиге распределения поля в плоскости изгиба в радиальном направлении от центра кривизны на расстояние 𝑟_𝑑 от оси волок- на (рис. 3, а). В случае ОВ с произвольным профилем в рамках гауссова приближения имеем:

𝑟 = ^𝑉2 ^𝑎2


_𝑟0 4

^𝑑 2∆ 𝑅_𝑐 ⁽ 𝑎 ⁾
, (13)

где 𝑟₀ ‒ размер пятна моды; 𝑅_𝑐 ‒ радиус изгиба (𝑅_𝑐 >> 𝑎).
Если волокно одномодовое, то часть мощности падающей моды, которая преобразуется в направляемую, определяется соотношением:

𝑃₀
𝑃_𝑖
2𝑝_𝑠𝑟₀ ²

}

= {
𝑝²+𝑟²
_𝑟2

𝑒𝑥𝑝 − ^𝑑 , (14)[ ]
𝑝²+𝑟²

^𝑠 0 ^𝑠 0
где 𝑝_𝑠 = 𝑟₀ + 𝑟_𝑑. (15)



2

2

(

0
Тогда часть излученной мощности, или переходные потери, при 𝑟_𝑑 << 𝑟₀ равны:

1 − ^𝑃0
≈ 1 − 𝑒𝑥𝑝 (− ^𝑑 ) ≈ ( ^𝑎 ) ^𝑟

6 _𝑉4
)
. (16)

0
𝑃_𝑖
2𝑟²
𝑅_𝑐
𝑎 2∆²

Этот результат справедлив при падении волны на плоскость АА’ с любой стороны.
Если волокно имеет большое число случайных изгибов с произвольным радиусом кривизны и длиной дуги, что характерно для микроизгибов, то излучение на этих изгибах является некорре- лированным. Поэтому полные потери от изгибов и переходных участков могут быть найдены простым суммированием. Поэтому полные потери на микроизгибах вдоль волокна равны суммар- ной мощности, излученной на всех изгибах и переходных участках.
Если отношение радиусов изгиба и сердцевины велико, что, как правило, реализуется на практике, то для определения потерь на микроизгибах могут быть использованы выше приведен- ные формулы. Так, если радиус изгиба велик, то переходные потери доминируют над потерями от чистого изгиба, т.к. последние имеют экспоненциальную зависимость от радиуса кривизны изгиба (12).
Приближенное выражение для расчета радиуса модового поля w одномодового волокна типа
SMF-28:

𝑤 = ^𝑎
_√𝑙𝑛(2𝜋𝑎𝑁𝐴₎
𝜆
(17)

Для расчета зависимостей показателей преломления сердцевины и оболочки волокна от дли- ны волны использовалось известное уравнение Селлмейера:

𝑛⁽𝜆⁾ = ^∑2
𝐴_𝑠𝑖𝜆²
+ 1, (18)

𝑠𝑖
^𝑖=0 _𝜆2_+𝜆²
где 𝐴_𝑠𝑖 и 𝜆_𝑠𝑖 (i = 0, 1, 2) ‒ коэффициенты Селлмейера,
Графики зависимости показателей преломления сердцевины и оболочки от длины волны для
волокна SMF-28, рассчитанные по выражению (18), представлены на рис. 4.
n(λ)
1.460

1.455

1.450

1.445

1.440
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
λ, мкм
Рис. 4. Зависимости показателей преломления сердцевины и оболочки от длины волны для во- локна SMF-28 (Corning).

Нормированные функции распределения поля основной моды для волокна SMF-28 на раз- ных длинах волн представлены на рис. 5.

Распределение поля F₀(R)
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Относительный радиус R
Рис. 5. Распределение поля основной моды для волокна SMF-28 (Corning).

На рис. 6 представлены зависимости коэффициента затухания изогнутого участка волокна SMF-28 от радиуса изгиба для длин волн двух основных окон прозрачности ‒ 1310 и 1550 нм, а также для длины волны внеполосного контроля 1625 нм. Из рис. 6 видно, что с уменьшением ра- диуса изгиба потери быстро возрастают. Кроме того, видно, что потери растут с ростом длины волны.

1000
, дБ/м

800

600

400

200

0
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
R_c, мм
Рис. 6. Зависимость коэффициента затухания изогнутого участка волокна SMF-28 (Corning) от радиуса изгиба на разных длинах волн.

На рис. 7 представлены зависимости коэффициента затухания изогнутого участка волокна
SMF-28 от длины волны при разных радиусах изгиба.

, дБ/м

150
100

50
0

1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65
λ, мкм
Рис. 7. Зависимость коэффициента затухания изогнутого участка волокна SMF-28 (Corning) от длины волны при разных радиусах изгиба.

Потери в изогнутом участке волокна существенно зависят от его конструкции, они умень- шаются при увеличении высоты профиля. Однако увеличение высоты профиля приводит к ухуд- шению других параметров волокна, например, к уменьшению диаметра модового поля.

Исользованная литература:

1. 
   Былина М.С., Глаголев С.Ф., Кочановский Л.Н., Пискунов В.В. Измерение параметров во- локонно-оптических линейных трактов. Учебное пособие, СПб ГУТ, СПб, 2002.
   
2. 
   Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. М., «Радио и связь», 1987; Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. М., «Мир», 1984.
   
3. 
   Ландсберг Г.С. Оптика. Учеб. пособие для вузов, 6-е изд., стереот. М., ФИЗМАТЛИТ,
   

2003.

4. 
   Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Издание 2-е. Перевод с английского. Главная редакция
   

физико-математической литературы, изд-ва «Наука», 1973; Листвин А.В., Листвин В.Н. Рефлекто- метрия оптических волокон. М., «ЛЕСАРарт», 2005.

5. 
   Листвин А.В., Листвин В.Н., Швырков Д.В. Оптические волокна для линий связи, М.,
   

«ЛЕСАРарт», 2003.

6. 
   Иванов А.Б. Волоконная оптика. Компоненты, системы передачи, измерения, М., изд.
   

«Syrus. Systems», 1999.

7. 
   Наний О.Е., Павлова Е.Г. МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет. Материалы статьи «Фотонно-кристаллические волокна» из журнала «LIGHTWAVE», российский выпуск №3, 2004.
   

3. Аксенов В.А., Замятин А.А., Иванов Г.А., Исаев В.А., Маковецкий А.А. Микрострукту- рированные кварцевые волоконные световоды, полученные методом капиллярной сборки.