Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Teorema (mavjudlik va yagonalik teoremasi). Agar funksiya R toʻgʻri toʻrtburchakda x,y lar boʻyicha uzliksiz boʻlib, R da y boʻyicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda har bir uchun tenglama x ning qiymatlari uchun aniqlangan va uzliksiz

qiymatlarni qabul qiluvchi yagona yechimga egadir.
,
Koshi masalasi, ushbu integral tenglamaga

integral ayniyat oʻrinli. Aksincha, agar biror uzluksiz funksiya uchun oraliqda (4) ayniyat oʻrinli boʻlsa, u holda funksiya differensiallanuvchi (1) differensial tenglamaning yechimi va shartni qanoatlantiradi.

II.5. Vronskiy determinanti

Agar I intervalda aniqlangan ( ) vektor funksiyalar uchun bir vaktda nolga teng boʻlmagan oʻzgarmas sonlar mavjud boʻlsaki, shu sonlar uchun
(2)
ayniyat oʻrinli boʻlsa, u holda berilgan funksiyalar I da chiziqli bogʻliq deyiladi. Aks holda chiziqli erkli deyiladi. bu yerda

(2) ayniyatni ochib yozamiz

Bu sistema _i larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qiladi. Uning determinantini yozib olamiz

Bu determinantga sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi . Bizga
(3)
(4)
chiziqli sistema berilgan boʻlsin.
Teorema 1: Agar (4) sistemada A(x) I da uzluksiz boʻlib shu sistema yechimlaridan tuzilgan Vronskiy determinanti I intervalda kamida bitta (x=x₀) nuqtada nolga teng boʻlsa, u holda funksiyalar I da chiziqli bogʻliq boʻladi.
Teorema 2. Agar yechimlar uchun W(x₀)0 boʻlsa (x₀I) W(x₀)0, xI oʻrinli .
Misol:

(4)ning chiziqli erkli yechimlari sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Endi sistemani mexanik maonosiga qisqacha toʻxtalib oʻtamiz. koʻrinishdagi normal sistemani
(5)
yechimga n oʻlchovli fazoda x nuqtaning xarakati mos keladi.
Bu fazoga holatlar fazosi (n=2 da holatlar tekisligi), xarakat natijasida hosil boʻlgan egri chiziq xarakat teritoriyasi deyiladi. (5) tenglamalar xarakat territoriyasining parametrik tenglamalaridir.
Bu tenglamalar nafaqat nuqtaning geometrik oʻrnini aniqlaydi, balki shu nuqtani ixtiyoriy vaktda trayektoriyadagi holatini aniqlab, trayektoriya boʻyicha vakt oʻzgarishi bilan nuqtaning xarakatini koʻrsatadi.
(6) sistema (y₁,y₂,...,y_n) fazoning f₁, f₂, ..., f_n funksiyalar aniqlangan qismida tezliklar maydonini aniqlaydi.
Umuman (6) sistemani integrallashdan maqsad barcha xarakat trayektoriyalarini topish va ularning xossalarini oʻrganishdan iborat.

II.6. Chiziqli differensial tenglamalar va Koshi masalasi mavzulariga taluqli misollar va ularning yechilishlari.

1-misol
(Y.Muxtorov, A.Soliyev “Differensial tenglamalar boʻyicha misol va masalalar” 84-misol)
Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini toping

Yechish:

,




Javob: Berilgan qiymatning umumiy yechimi
ga teng.
2-misol
(Ya. Muxtorov, A. Soliyev “Differensial tenglamalar bo‟yicha misol va masalalar” 85-misol)
Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini toping

Yechish:
,


,



Javob: Berilgan tenglamaning umumiy yechimi
ga teng.
5-misol
(Y.Muxtorov, A.Soliyev “Differensial tenglamalar bo‟yicha misol va masalalar” 88-misol)
Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini toping

Yechish:







Javob: Berilgan tenglamaning umumiy yechimi