Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

II.1. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Ta’rif. Noma’lum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada boʻlgan birinchi tartibli differensial tenglamaga chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglamaning umumiy koʻrinishi
(1)
dan iborat. Bunda , , koʻrilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. Agar koʻrilayotgan oraliqda ning hamma qiymatlarida boʻlmasa, (1) tenglamani
(2)
Koʻrinishga keltirish mumkin.
Bunda , .
(2) tenglamaga bir jinsli bo‟lamagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Agar (2) da Q(x)0 boʻlsa
(3)
tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi ( (2) tenglamaga mos boʻlgan). (3) tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
(4)
с ning oʻzgarmas qiymatlarida (4), (3) tenglamani qanoatlantiradi. Ya’ni (3) tenglamaning umumiy yechimi boʻladi. (2) tenglamaning ham umumiy yechimini c ni ning funksiyasi deb, (4) ko‟rinishda izlaymiz.
U holda (4) dan
(5)
(4) va (5) ga asosan (2) tenglama



Bundan
(6)
U holda (4) va (6) ga asosan (2) ning umumiy yechimi:
(7)
boʻladi
Bu bir jinsli boʻlmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topish formulasi. (7) dan koʻrinadiki chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ikkita kvadratura bilan aniqlanadi. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini bunday usul bilan topishga, oʻzgarmaslarni variasiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi. Bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ikkita yechimlar yigʻindisidan iboratdir.
Ulardan biri bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimidan, ikkinchisi esa, (2) tenglamaning xususiy

yechimdan iboratdir.
(7) ni integrallab boʻlgach u quyidagi koʻrinishga keladi.

Bundan koʻrinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy oʻzgarmasga nisbatan chiziqli funksiyadan iboratdir. (2) tenglamaning umumiy yechimini Eyler-Bernulli usulidan foydalanib topish ham mumkin. (2) tenglamada

almashtirishni olamiz. Bunda u va v lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir.

(9)
(10)
funksiya ixtiyoriy boʻlgani uchun, uni shunday tanlab olamizkim

sharti bajarilsin. Bundan
(11)
(11) ni (10) ga olib borib qoʻysak

bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi.