Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Misol: Koshi masalasini yeching.

Masala. Quyida berilgan chiziqli differensial tenglamaning va boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.

Yechish: Dastavval bu chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topib olamiz, buning uchun chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toppish formulasidan foydalanamiz:

=


Demak berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi

ga teng ekan
Endi tenglamaning yuqoridagi boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz, buning uchun tenglamaning umumiy yechimiga x ning oʻrniga x₀ ning qiymatini, y ning oʻrninga y₀ ning qiymatini qoʻyamiz va nomalum c ni topamiz:


Demak berilgan chiziqli differensial tenglamaning va boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ga teng ekan.

II.4. Mavjudlik va yagonalik teoremalari.

Bizga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
(1)
berilgan boʻlsin, bu yerda funksiya tekislikdagi G soxada aniqlangan boʻlsin. Qaralayotgan sohada tenglama yechimga egami yoki yoʻqmi va agar yechim mavjud boʻlsa, yagonami ya’ni (1) differensial tenglama
(2)
shartni qanoatlantiradimi degan savollarga javob berish kerak boʻladi.
Yuqoridagi savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi
Teorema (mavjudlik teoremasi). Agar boʻlsa, u holda G sohaning ixtiyoriy nuqtasi uchun (1) tenglamaning (2) shartni qanoatlantiradigan kamida bitta yechimi mavjud.
G sohaga tegishli boʻlgan yopiq R toʻrtburchak
ni qaraymiz, Bu toʻrtburchakda funksiya chegaralangan, ya’ni

R dagi barcha nuqtalar uchun M > 0, chunki yopiq sohada uzluksiz funksiya oʻzining eng katta va eng kichik qiymatini qabul qiladi

Belgilash kiritamiz, Peano kesmasi deyiladi.
Peano teoremasi. Agar u holda R toʻrtburchakning ixtiyoriy nuqtasi uchun, (1) tenglamaning (2) shartni qanoatlantiradigan Peano kesmasida aniqlangan kamida bitta yechimi mavjud.
Ta’rif. Agar funksiya G sohada aniqlangan boʻlib, shu funksiya uchun shunday son mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy ikkita , nuqtalar uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya G sohada y Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshis oʻzgarmasi deyiladi.