O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

Gradientning differensial xossalari:

1) Ikkita funksiya yig‘indisining gradienti bu funksiyalar gradientlarining yig‘indisiga tengdir:

Isbot:

shu fo‘rmuladan bu xossaning to‘g‘ri ekanligi ma’lum bo‘ladi.

2) Ikkita funksiya ko‘paytmasining gradienti uchun quyidagi tenglik o‘rinlidir:

Isbot: Bu xossada funksiyalar ko‘paytirilayotganigi sababli biz ikkita funksiyaning ko‘paytmasidan hosila olish qoidasi orqali bu xossani oson isbotlay olamiz.

bu ifodadan ikkinchi xossaning ham to‘g‘riligi isbotlanadi.

3)

Isbot: Avvalo biz quyidagi tenglikni yozib olamiz

ko‘rinib turibdiki bu tenglikda va larning ko‘paytmasi qatnashmoqda. Endi esa biz ikkinchi xossaga ularni mos ravishda joylaymiz. Ya’ni

ya’ni,

4)

Isbot: Bu xossani quyidagicha isbotlaymiz. Avvalo bir tasdiq ma’lum, ya’ni murakkab funksiya hosilasi haqidagi. Bu tasdiq fo‘rmulasi

gradient ta’rifi fo‘rmulasi

ko‘rinishda. Endi biz bu ko‘rilgan ifodalardan foydalangan holda quyidagi tengliklarni yoza olamiz

ya’ni,

yoki qisqacha qilib, ko‘rinishida yozaylik. Bu esa to‘rtinchi xossaning isboti bo‘ladi.

5)

Isbot: Bu xossani isbotlash uchun

lardan foydalanamiz. Bu tengliklar o‘rinli bo‘lgani uchun vektorning barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini hisoblab chiqib bu hosilalar uchun manabu uchta tenglikni yozaolamiz. Ularni topishda biz ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalarini topish usullaridan foydalanamiz. Bu hosilalalardan biz beshinchi xossani isbotlashda foydalanamiz.

shuning uchun,

bo‘ladi. Bu esa xossani isbotlaydi.

6) , .