|
3. Gradient va uning xossalari
Bizga, biror bir
skalyar maydon berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Skalyar maydonning berilgan nuqtadagi gradienti deb, simvol orqali belgilanadigan va quyidagi tenglikdan aniqlanadigan vektorga aytiladi.
(19)
Sath sirtida nuqtadan o‘tuvchi ixtiyoriy biror chiziq joylashgan bo‘lib, uning parametrik tenglamasi
ko‘rinishda bo‘lsin. Radius vektor differensiali,
chiziq bo‘ylab cheksiz kichik siljishni aniqlaydi. Sath sirtda bo‘lganligidan,
bundan kelib chiqadi. chiziqning ixtiyoriyligidan nuqtadagi gradienti sath sirtiga ortogonal ekanligi kelib chiqadi.
Yo‘nalish bo‘yicha hosila bilan gradient orasidagi bog‘lanish.
Yo‘nalish bo‘yicha hosilani orqali quyidagicha yozishimiz mumkin:
(20)
bunda, vektor yo‘nalishidagi birlik vektor bo‘lib, uni quyidagi keltirilgan (21) fo‘rmula orqali hisoblashimiz mumkin. Ya’ni vektorning o‘z mo‘duliga nisbati uning yo‘nalishidagi vektorni hosil qilish imkonini beradi.
(21)
va vektor orasidagi burchak. Bu burchak kosinusini (20) fo‘rmuladan foydalanib quyidagicha hisoblashimiz mumkin:
bu hosil qilingan tenglikdan esa burchakning o‘zini triganametrik tenglikni yechish orqali ko‘rsatish oson. (quyidagi rasmda burchak tasvirlangan).
Demak, biror nuqtada olingan yo‘nalish bo‘yicha hosila gradientning
shu yo‘nalishdagi prayeksiyasiga teng ekan.
Agar =0 bo‘lsa, bo‘ladi.
Agarda bo‘lsa, gradient yo‘nalishi bilan mos kelmagan barcha vektorlar uchun,
ekanligi kelib chiqadi.
nuqtadagi urinma tekislik, va
vektorlarning perpendikulyarligidan quyidagi kelib chiqadi:
Skalyar maydondagi biror bir nuqta orqali biror bir yo‘nalishli to‘g‘ri chiziq olaylik. funksiyaning shu nuqtadagi qiymati bo‘lib, to‘g‘ri chiziqning ga yaqin nuqtadagi qiymati bo‘lsin. Ushbu
ning dagi limiti funksiyaning yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi. Ya’ni
(22)
bu hosila funksiyaning nuqtadagi yo‘nalish bo‘yicha o‘zgarish suratini aniqlaydi.
nuqtdan xohlagancha to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin, shuning uchun funksiya berilgan nuqtada cheksiz ko‘p yo‘nalishlar bo‘yicha hosilalarga egadir. vektorni bir-biriga tik uchta yo‘nalish bo‘yicha yoyish mumkinligi sababli hosilani shu uch yo‘nalish bo‘yicha olingan hosilalar orqali ifodalash mumkin:
(23)
Endi to‘g‘ri chiziq o‘rniga nuqtdan o‘tuvchi biror chiziq olib,
(24)
ni qaraylik. Bu limit funksiyadan chiziqning yoyi bo‘yicha olingan hosilasiga teng bo‘ib, uni biz bilan belgilaymiz.
= (25)
bu hosilaga ning chiziq bo‘yicha hosilasi deyiladi.
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga muvofiq,
(26)
chiziq uchun , , hosilalar uning nuqtadagi urinmasining birlik vektori ning koordinatalaridir. Agar nuqta ma’lum bo‘lsa, hosilalar tezda topiladi, demak, funksiyaning chiziq bo‘ylab olingan hosilasi, shu chiziqning nuqtadagi urinmasi yo‘nalishi bo‘ylab olingan hosilasiga teng bo‘ladi. hosilalar nuqtadan o‘tuvchi ekvipotensial vektorning koordinatalari ekani va bu gradientning shu sirt normali bo‘ylab yo‘nalganligi bizga ma’lum. Demak, (20) fo‘rmuladan foydalangan holda (26) fo‘rmulani skalyar ko‘paytma shaklida yozamiz.
(27)
(27) formula ikki vektorning skalyar ko‘paytmasini ifodalaydi, ulardan biri birlik vektordir, demak, ni ning ning yo‘nalishidagi prayeksiyasi deb qarash mumkin:
(28).
Skalyar maydonning gradienti vektor maydonni tashkil qiladi. (27) formuladan muhim natijalar chiqarish mumkin:
1) Berilgan maydonning berilgan nuqtasida dan biror yo‘nalish bo‘yicha olingan hosilasi faqat shu yo‘nalishga bog‘liq bo‘lib, chiziqning tanlanishiga bog‘liq emas, chunki berilgan yo‘nalishga nuqtada urunuvchi chiziqlar ko‘p.
2) Xar qanday vektorni o‘z yo‘nalishidagi to‘g‘ri chiziqqa prayeksiyalaganda, prayeksiya absolyut qiymat jihatidan eng katta qiymatga erishadi. Shuning uchun, hosila gradient yo‘nalishida eng katta qiymatga erishadi, ya’ni “ ” maydonning eng zo‘r suratda o‘zgarishi yo‘nalishida bo‘lib, bu eng katta tezlikga tengdir; maydon qancha tez o‘zgarsa, bu modul shuncha katta. Masalan, uydagi pechkadan tarqalgan temperatura maydonini olsak, uning gradienti pechka tomon yo‘nalgan bo‘ladi.
3) (19) dan:
= (29)
demak , faqat
(30)
bo‘lgandagina, yani o‘zgarmas miqdor bo‘lgandagina gradient no‘lga teng bo‘ladi. Ammo o‘zgaruvchan bo‘lsada maydonning ayrim nuqtalarida (30) holat yuz berishi mumkin.
Bu natijalar gradientning invariantlik (koordinatalar sistemasiga bog‘liq bo‘lmagan) ta’rifini beradi. Ya’ni koordinatalar sistemasining qanday bo‘lishidan qat’iy nazar gradient skalyar maydonning eng tez o‘sadigan yo‘nalishini va miqdorini aniqlaydi.
Gradient vektor funksiya bo‘lib, u faqat skalyar funksiyadan olinadi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
