|
2-misol. yassi skalyar maydonning sath chiziqlarini
toping.
Yechish: Maydonning sath chiziqlarini tenglama orqali ifodalanadi. Chap tomondan to‘liq kvadrat ajratib tenglamaga keltiramiz. Demak, sath chiziqlari shartlar uchun markazi nuqtada joylashgan konsentrik aylanalar oilasidan iborat bo‘ladi.
3-misol. skalyar maydonning sath sirtlarini toping.
Yechish: Berilgan skalyar maydonning aniqlanish sohasi quyidagi tengsizlikdan iborat bo‘ladi.
. Bundan . Demak, berilgan skalyar maydon
sohada aniqlangan bo‘ladi. Sath sirti tarifiga ko‘ra,
shunday qilib, maydonning sath sirtlari uchlari koordinatalar boshida bo‘lgan sirt va undan tashqaridagi konus sirtlaridan, tekislikdan iborat.
Yaqqol ko‘zga tashlanadigan vektor maydonlardan biri suyuqlikning tezlik maydonidir. Fazoning biror qismida suyuqlik harakat qilayotgan bo‘lsin. Ixtiyoriy nuqtada har xil vaqtlarda ham suyuqlik tezligi bir xil bo‘lsin. Bunday harakatga statsionar harakat deyiladi. Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil bo‘lgani bilan ning boshqa nuqtalarida tezliklar har xildir. Shunday qilib, da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi.
Agar uch o‘lchovli fazoda to‘g‘ri Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsa, vektor maydonni uch o‘zgaruvchili vektor funksiya ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Haqiqatdan ham, koordinatalar yordamida nuqtani va u yordamida vektor maydonni aniqlash mumkin. koordinatalar sistemasida bazis vektorlar bo‘lsin. U holda, vektor maydonni
(12)
ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Bu yerda lar ning skalyar funksiyalaridir. Bu funksiyalarning nuqtadagi qiymatlari vektorning bazisdagi koordinatalaridan iborat bo‘ladi.
Agar biror to‘gri Dekart koordinatalar sistemasi tanlanganda vektor maydon ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydon yassi maydon deyiladi. Bunday maydonlarda vektor tekislikka parallel bo‘ladi.
Misol. Biror jism biror o‘q atrofida o‘zgarmas burchak tezlik bo‘yicha aylanayotgan bo‘lsin. Bu holda aylanayotgan jism nuqtalari tezligi ga teng bo‘ladi; aylanish o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan vektor. nuqtaning radiyus vektori. Shunday qilib, vektor maydon vektor argumentli vektor funksiya orqali berilgandir .
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki unda jismning aylanish o‘qi o‘qi bilan mos kelsin va va vektorlar yo‘nalishlari mos kelsin. U holda, bo‘ladi. Nuqtaning radius vektori . U holda,
bo‘ladi. Demak, vektor maydon yassi maydon, chunki maydonning uchunchi koordinatasi nolga teng va birinchi va ikkinchi koordinatalari esa ga bog‘liq emas.
Silindrik koordinatalar sistemasida vektor maydon berilgan bo‘lsin. Agar vektor maydon har bir nuqtada ga bog‘liq bo‘lmasa, o‘qqa simmetrik maydon deyiladi. O‘qqa simmetrik maydonda vektor nuqta va o‘qidan o‘tadigan tekislikka parallel bo‘ladi.
Agar berilgan vektor maydon o‘zining aniqlanish sohasining ixtiyoriy nuqtasida uzunligi faqat masofaga va yo‘nalishi va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi. Bunday maydonni
ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Misol. Fazoda kuchni xarakterlovchi maydon kuch maydoni deyiladi. Masalan, massasi ga teng bo‘lgan material nuqtaning tortishish kuchi. Faraz qilaylik bu nuqta koordinatalar boshida joylashgan bo‘lsin. Nyuton qonuniga ko‘ra massasi ga teng nuqtada joylashgan radius vektori bo‘lgan material nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch ushbu
ga teng bo‘ladi. Bu yerda gravitatsion o‘zgarmas. Bunday kuch maydonning markaziy maydonligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Nuqtaviy elektr zaryadlarining o‘zaro ta’siri natijasida hosil bo‘ladigan
maydon ham markaziy maydon bo‘ladi. Nuqtaviy zaryad koordinata boshida joylashgan bo‘lsin. Kulon qonuniga ko‘ra radius vektori ga teng bo‘lgan zaryadga ta’sir qiluvchi kuch
ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda dielektrik konstanta.
Endi esa vektor chiziq haqidagi ta’rif bilan tanishaylik. Vektor chiziq quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif. vektor maydondagi biror egri chiziqning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishi maydonning shu nuqtadagi yo‘nalishi bilan ustma-ust tushsa bu holda egri chiziq vektor maydonning vektor chizig‘i deb ataladi.
Masalan, biror o‘q atrofida aylanma harakat qilayotgan qattiq jism tezliklar maydonining vektor chiziqlar markazi aylanish o‘qida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat bo‘ladi. Statsionar harakatdagi suyuqlik tezliklari maydonining vektor chiziqlari suyuqlik zarrachalarining trayektoriyasidan iborat bo‘ladi. Agarda vektor maydoni elektr maydoni deb qaralsa, u holda vektor chiziqlar bu maydonning kuch chiziqlari bo‘ladi.
Amalda vektor chiziqlarni aniqlash uchun odatda avval ularning differensial tenglamalar sistemasi deb ataluvchi sistema tuziladi va bu sistemani yechib, integral egri chiziqlarning (ya’ni vektor chiziqlarning) grafiklari yasaladi. Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sitemasi quyidagicha tuziladi: chiziq vektor maydonning biror vektor chizig‘i bo‘lsin. Ravshanki vektor vektor chiziq urinmasi bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun, va vektorlar o‘zaro kollinear vektorlardir.
Agar bo‘lsa, prayeksiyalari bilan berilgan ikki vektorning o‘zaro kollinearlik shartiga binoan
(13)
bo‘ladi. Bu sistemaga vektor chiziqlarining differensial tenglamalari deyiladi.
Yassi vektor maydonlar uchun vektor chiziqlarning differensial tenglamasi
(14)
ko‘rinishida bo‘ladi.
Vektor sirti undagi har bir nuqtaga mos vektorning shu nuqtada urunuvchi tekislikda yotishi bilan xarakterlanadi. Agar qaralayotgan sohada vektor chizig‘idan farqli biror egri chiziq olib, uning har bir nuqtasi orqali vektor chizig‘i o‘tkazilsa, bu chiziqlarning geometrik o‘rni vektor sirtni beradi. Agar olingan yo‘naltiruvchi chiziq yopiq bo‘lsa, u holda hosil bo‘lgan vektor sirt trubkasimon vektor sirti deyiladi. Uni vektor trubkasi deb ham atash mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
