O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat Universiteti Iqtisodiyot yo’nalishi

ko‘rinishga tenglamani oddiy integrallash yo‘li bilan yechiladi. Natijada, . Agar funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa, u holda umumiy yechim ko‘rinishda yoziladi.

(7)

o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deb yuritiladi.

(7) tenglamani yachish uchun noma‘lum funksiyaning qaralayotgan o‘zgarish sohasida shart bajariladi deb, (7) tenglamani

shaklda yozamiz va ikkala qismini integrallab,

tenglikni olamiz. Agar funksiya funksiyaning, esa ning boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy integrali:

ko‘rinishdan iborat bo’ladi.

Misol. tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qilingan bo‘lsin.

shart o‘rinli deb, tenglama o‘zgaruvchilarini ajratamiz:

Buni integrallab, ko‘rinishdagi umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo‘qotilgan yechimni ham qo‘shish lozim.
Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb,

ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi.
(8) tenglamani yechish uchun noma‘lum funksiyadan funksiyaga o‘tamiz. U holda

tengliklar o‘rinli bo‘lib, (8) tenglama:
yoki
ko‘rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma‘lum usulda yechiladi. Natijada,

funksiya topilgandan so‘ng, funksiyaga qaytiladi.
Misol. 1) tenglamani yeching.

Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki

Bu yerda Noma‘lum funksiyaga nisbatan o‘zgaruvchilari ajralgan:
yoki
tenglama hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglikni integrallaymiz:
.
So‘ngra

yechimlarni va funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda:

umumiy integralni quramiz.
x,y erkli o‘zgaruvchilaming u(x.y ) noma’lum funksiyasi va funksiyaning ikkinchi tartibigacha xususiy hosilalari orasidagi bogManishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi. Ta’rif. R2 fazoda ikkinchi tartibgacha xususiy hosilalari mavjud qandaydir u(x.y ) funksiya berilgan bo‘lsin (и„=м>х). U holda tenglama umumiy holda berilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi, bu yerda F - berilgan biror-bir funksiya. Xuddi shunga o‘xshash ko‘p erkli o‘zgaruvchilLikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyid^gfjco-rinishda ifodalanadi: KELTIRISH y, U, Ux,UytUJxl Mjjy, u>y) = 0 (1) 17 ( 2 ) Ta’rif. Agarda ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga и ^ + а ^ у У и ^ + ^ у м и ^ и ^ О (3) ega bo‘lsa, unda ushbu tenglamaga yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi. Ta’rif. Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili kvazichiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi: ап(х,у^их,иу)иа +/2л12(х,у,и,их,иуУиху+а72{х,у,и,их,иуУи)у+р{х,у,и,их,иу)=0 . (4) Ta’rif. Agarda ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglama barcha xususiy hosilalariga va noma’lum funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘Isa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ах\{хЛ и^ ^ { х>у\игу^^{^у)^Ь Х х,у)и х^Ьг{х,у)иу^с{х,уУи+/{х,у)^. (5) ega bo‘lsa, unda ushbu tenglamaga chiziqli tenglama deyiladi. (5) tenglamada *„(*,,), °А*>у\ ьх{*>у\ ъЛ*,у\ c(*.y)larga (5) tenglamaning koeffitsiyentlari, f(x.y) ga (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular oldindan berilgan deb hisoblanadi. Ta’rif. Agar (5) tenglamada /{x.y)Bo bo‘lsa, u holda bu tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, ya’ni f(x,y)* о bo‘lsa, (5) tenglama bir jinsli boimagan differensial tenglama deyiladi. (3) (yoki (5)) tenglamada o‘zgaruvchilami ixtiyoriy (o‘zaro birqiymatli) almashtiramiz. Bu uchun biz x va у erkli o‘zgaruvchilami teskari almashtirish natijasida, ya’ni ,u,u^ ,uXi...uXm...uV j,...) = 0. 18 (7) { ■ v {x .y )f »7 - v ( * ,y ) ( 6 ) berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga ega boMishimiz mumkin. Buning uchun (3) tenglamada x va У erkli o‘zgaruvchilardan yangi £ va Л o‘zgaruvchilarga o‘tamiz
Agar ф) va v(jo funksiyalar bir jinsli bo‘lmagan (2) tenglamaning yechimlari bo‘lsa, ravshanki, (tenglama chiziqli bo‘lgani sababli) *(*) = *(*) - v(X) ayirma bir jinsli ( / = o) tenglamaning yechimi boMadi. Agarda ц(х), flinksiyalar bir jinsli ( / = o) tenglamaning к yechimlari bo‘lsa, m(jc)=£c>,(x) funksiya ham, bu yerda C, -haqiqiy 1=1 o‘zgarmaslar, shu tenglamaning yechimi bo‘ladi. Eslatib o‘tamiz, q sohada aniqlangan va k- tartibgacha xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo‘lgan haqiqiy U(x) funksiyalar sinfi C*(0 orqali belgilanadi, c(g)- q sohada uzluksiz funksiyalar sinfi. g(;t)eC*( Erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi funksional bog‘lanishga differensial tenglama deyiladi. Agar tenglamada noma’lum funksiya ko‘p o‘zgaruvchining (o‘zgaruvchilar 2 va undan ortiq) funksiyasi bo‘lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. n o‘lchovli r" Evklid fazosida nuqtaning dekart koordinatalarini хх,хг,...9хп, n *2 orqali belgilaymiz. Tartiblangan manfiy bolmagan n ta butun sonning а=(а,,а2,...1ол) ketma-ketligi n - tartibli multiindeks, \c\ = av +a2 +...+a„ soniga multiindeks uzunligi deyiladi. q - R" fazodagi biror soha (ochiq, bogMangan to‘plam) bo‘lsin. и(д:)=м{^,х2,...^1) funksiyaning xeQ nuqtadagi |ar|=or, +a2 +...+a„ tartibli hosilasini. Bu yerda a;lar 1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (13) dagi manfiy va nol koeffitsiyentlar q ni kanonik ko‘rinishga keltirish usuliga bog‘liq emas. Shunga asosan (12) tenglama klassifikatsiyalanadi. T a’rif. Agar har bir xeD nuqtada (13) dagi a,koeffitsiyentlar mos ravishda: hammasi noldan farqli va bir xil ishorali; hammasi noldan farqli va har xil ishorali; va nihoyat hech boMmaganda bittasi (hammasi emas) nol boMsa, (12) chiziqli tenglama D sohada mos ravishda elliptik, giperbolik yoki parabolik deyiladi. Ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardan bittasini kanonik ko‘rinishga keltirish usulini qarab chiqaylik. Misol. Quyidagi tenglama berilgan bo‘lsin: uxx+2w*y+2u>y +4u>? +5u= =0 ■ Uning turini aniqlaymiz va kanonik ko‘rinishga keltiramiz. Yechish: Ushbu tenglamaga mos xarakteristik kvadratik forma Q=%+2AxX1 +2% + 4 ^ +5% ko‘rinishda bo‘ladi. Bu kvadratik formani, masalan, Lagranj usulidan foydalanib kanonik ko‘rinishga keltiramiz: б=(Л+Л)2+(Л+2Л)2+^- Quyidagi belgilashlar kiritamiz: H\ = Л1 + Л,; Иг +2Я,; (14) va natijada Q formani kanonik ko‘rinishga keltiramiz: Q=t4 +&+/4 - (\ -l 2 > (14) tengliklardan я lami topib olamiz. Shunday qilib, м= о l -2 [о о l j matrisali quyidagi xosmas affin almashtirishlari: 28 A j=/^-2/4 , ^=/^lar g formani kanonik ko‘rinishga keltiradi: Q=ri+/4+riBerilgan differensial tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiradigan xosmas affin almashtirishining matrisasi M matrisaga f I 0 0^ simmetrik bo‘lgan matrisa bo4adi: M' = -l l о 2 -2 i , bu almashtirish quyidagi ko‘rinishga ega: z = x; rj = -x+y; c = 2x - 2y + z. Shulardan va U(x,y,z) = v(f,r?,c) belgilashdan foydalanib, quyidagilami topamiz: uxx — v« + vnn + 4V«" “ 2v^ 7+ 4v^ — 4v^ ; u»=vnn+4v« - 4v* ; M==vf
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda  o’zgarmas sonlar.  esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.
Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta  -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini

(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda  va lar o’zgarmas sonlardir.
Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.

yoki buni ochib yozsak

(4).
Bu  larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.


(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.
(5)  ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir
(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun  (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz

(6).
a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning  ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar  ildizni (5) ga olib borib qo’ysak

(7) bo’ladi.
Isbot etamizkim  qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda  tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan xam  xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun

(8)
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan

(9)
Bunda  determinantdagi  elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan  larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.



Bunda  lar o’zgarmas sonlardir.
Agar  teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning  ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.

(10)
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, xarakteristik tenglamaning  ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumki

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:

1. 
   Salohiddinov M .S., N asriddinov G.N. Oddiy differensial tenglamalar. Toshkent,
   

“O ’zbekiston” , 1994.
2. Понтрягин JI.C. О бы кновенние дифферциальные уравнения. М .:Наука, 1969.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М .: Гиз.Ф из- мат. литература. 195 8
4. Эльсгольц Л.Е. Д ифф еренциальны е уравнения и вариационное исчиление. М .: Наука.. 1965.
5. Филиппов А.Ф. С борник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979 (5-е издание). К уш им ча адабиётмар
6. Бибиков Ю .Н. Курс обы кновенны х дифференциальных уравнений. М.. 1 9 9 1 .3 1 4 с.
7. Богданов Ю .С. Лекции по дифференциальным уравнениям. М инск, “Высшая ш кола”, 1977.
8. Петровский И.Г. Л екции но теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: изд-во М оск. Ун-та. 1984
9. Демидович Б.П. Л екции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987.
10. Ф едорюк М.В. О бы кновенны е дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1980.