O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch Davlat Universiteti Iqtisodiyot yo’nalishi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

Urganch Davlat Universiteti Iqtisodiyot yo’nalishi
211-Iqtisod guruh talabasi Olloberdiyev Nizomjonnig Iqtisodchilar uchun matematika fanidan

MUSTAQIL ISHI
Mavzu: O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar

Topshirdi: Olloberdiyev Nizomjon
Qabul qildi: Omonov Sherzod

Urganch – 2022

Reja:

1. 
   Differensial tenglamalar haqida tushuncha
   
2. 
   Differensial tenglamalarning turlari
   
3. 
   O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarni yechish usullari
   
4. 
   

Differensial tenglam alarga keltirila-digan m asalalar. H osilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglam alar, yechim tushunchasi, xususiy va um um iy yechim , integral chiziq, Koshi m asalasi.Egri chiziqlar oilsining differensial tenglam asini tuzish. H osilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglam a yechim ini m avjudlik va yagonalik teorem asi. O 'zgaruvchilari ajraladigan v a unga keltriladigan birinchi tartibli differensial tenglamalar. B ir chinsli va bir chinsliga keltriladigan birinchi tartibli differensial tenglam alar. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglam alar va ularnung asosiy xossalari Bernulli va Rikkati tenglam alari. T o’liq differensial tenglam a integrallovchi k o ’paytuvchi. Integrallovchi k o ’paytuvchini topish usullari. H osilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglam alar, m avjudlik va yagonalik teorem asi. Param etr kiritish usuli, to ’liq bolm agan differensial tenglam alar. Lagranj va Klero tenglam alari. M axsus echim lar va ularning m avjudligi.birinchi tartibli har xil sinfdagi tenglam alar.
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglamalar nazariyasi 17-a. oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglamalar matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va b. sohalarning turli masalalarini tekshirish Differensial tenglamalarni yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali Differensial tenglamalar Bu tenglamalarning oddiy Differensial tenglamalardan farkli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni «umumiy yechimi» ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni Differensial tenglamalarning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamalarni yechish oddiy Differensial tenglamalar sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali Differensial tenglamalar nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi. Asosiy tushunchalar. x erkli o’zgaruvchi, shu o’zgaruvchining у funksiyasi va y ' hosilani bog’lovchi F ( x ,y ,y ) = 0 (1) munosabat 1- tartibli differensial tenglama deyiladi. Agar (1) munosabatda у ni ,С(1) = 0 oshkormas funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy integrali deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan umumiy integral koordinatalar tekisligida С parametrga bog’liq bo’lgan va tenglamaning integral egri chiziqlari deb ataladigan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Xususiy integralga bu oilaning С = C0 ga mos bo’lgan egri chizig’i mos keladi. Ayrim hollarda (2) dan y^(f{x,C) (3) ko’rinishdagi ( 1) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilish mumkin. Umumiy integralni, shuningdek umumiy yechimni topish jarayoni (1) tenglamani integrallash deb yuritiladi. Izoh. Ayrim hollarda qulaylik tug’dirish maqsadida o’zgarmas С ning o’miga kC yoki £lnC olinadi, bu yerda к - ixtiyoriy son. С o’zgarmasga ma‘lum C = C0 qiymat berish natijasida y-ip(x,C) umumiy yechimdan hosil qilingan har qanday у = ф(х,С0) funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Qulaylik uchun ( I) differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilgan www.ziyouz.com kutubxonasi ^ = f( x ,y ) (4) dx tengiama shaklida yoki simvolik ravishda differensiallar ishtirok etgan M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 (5) tengiama shaklida ifodalashga harakat qilinadi. Izoh. Ayrim hollarda (4) o’rnigay ni erkli o’zgaruvchi deb, shu o’zgaruvchining jc( у ) funksiyasiga mos — = — ^— tengiama ham qaraladi. dy f( x ,y ) ( 1) tenglamaning boshlang’ich shart deb nomlanadigan yixa)=yo [ (6) ko’rinishdagi shartni qanoatlantiradigan yechimlarini topish masalasi Koshi masalasi yoki boshlang 'ich masata deyiladi. (4) tengiama uchun Koshi masalasi qisqacha quyidagicha yoziladi: £ = - v U ^ o Koshi masalasi geometrik nuqtai nazardan qaraganda barcha integral egri chiziqlar ichidan berilgan (x0,y0) nuqtadan o’tuvchi integral egri chiziqni topish masalasidir. Agar (xa,y0) nuqtadan ikkita va undan ko’p integral chiziqlar o’tsa bu nuqtada yagonalik sharti bajarilmagan deb yuritiladi. Agar (1) tenglamaning tp(x) yechimi uchun ixtiyoriy (дс0,#>(дс0)) nuqtada yagonalik sharti bajarilmasa u holda Matematika va uning tadbiqlarining muhim masalalari ni emas, balki uning biror noma‘lum funksiyasini topish masalasi qo‘yilgan va tarkibida shu bilan birga uning hosilalarini o‘z ichiga olgan murakkab tenglamalarni yechishga keltiriladi.
Masalan,
1-ta’rif. Erkli o‘zgaruvchi ni, noma‘lum funksiyani va uning tartibli hosilasiga qadar hosilalarini bog‘lovchi tenglamaga tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Yuqorida yozilgan tenglamalar, mos ravishda, birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli differensial tenglamalardir. tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinish:

2-ta’rif. (1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida marta differensiallanuvchi har qanday funksiyaga (1) differensial tenglama yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya differensial tenglama yechimi bo‘lib, u tenglamaning cheksiz ko‘p yechimlaridan biridir. Har qanday funksiya ham, bu yerda, ixtiyoriy o‘zgarmas son, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi ko‘rinishdan o‘zgacha bo‘lishi mumkin emas. Shu ma‘noda, funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umumiy yechimda ixtiyoriy o‘zgarmas qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to‘plami yagona ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq deyiladi.
O‘zgarmas ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi.
differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mumkin:
Bu yerda, va ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lib, ularning har qanday qiymatlarida funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va shu sababli umumiy yechim bo‘lib hisoblanadi. differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq va har birining konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo‘ladi.
Yuqoridagi misollardan differensial tenglama umumiy yechimida o‘zgarmaslar soni tenglamaning tartibiga teng ekanligini va uning xususiy yechimlari umumiy yechim o‘zgarmaslarining konkret qiymatlarida kelib chiqishini xulosa qilish mumkin.
Differensial tenglama yechimlarini qurish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deb yuritiladi. Differensial tenglamani integrallab, masalaning qo‘yilishiga qarab, uning yoki umumiy yechimi yoki xususiy yechimi topiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy
(2)
yoki hosilaga nisbatan yechilgan

ko‘rinishda yozilishi mumkin. Ushbu tenglama ham, odatda, cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ulardan biror – bir xususiy yechimni ajratib olish qo‘shimcha shartni talab etadi. Ko‘p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo‘yiladi.
Koshi masalasi
(4)
differensial tenglamaning
(5)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat.
(4), (5) masala yechimining mavjudlik va yagonalik sharti quyidagi teoremadan aniqlanadi.
1-teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi mavjudki, bu atrofda differensial tenglama uchun boshlang‘ich shartli Koshi masalasi yechimi mavjud va yagonadir.
Differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari tushunchalariga aniqlik kiritamiz.
Agar boshlang‘ich nuqtaning berilishi (2) tenglama yechimining yagonaligini aniqlasa, u holda ushbu yagona yechim xususiy yechim deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha xususiy yechimlari to‘plamiga uning umumiy yechimi deyiladi.
Odatda, umumiy yechim oshkor yoki oshkormas ko‘rinishda yoziladi. o‘zgarmas boshlang‘ich shart asosida tenglamadan topiladi.
3-ta’rif. Tenglamaning umumiy integrali (yoki yechimi) deb, o‘zgarmasning turli qiymatlarida barcha xususiy yechimlari aniqlanadigan munosabatga aytiladi.
Masalan, yechimning mavjudlik va yagonalik shartlari (1-teoremadagi) yuqorida ko‘rilgan tenglama uchun tekislikning har bir nuqtasida bajariladi. Tenglama umumiy yechimi formuladan iborat bo‘lib, har qanday boshlang‘ich shart mos o‘zgarmas tanlanganda qanoatlantiriladi. o‘zgarmas tenglamadan topiladi:
Differensial tenglamani shartlarsiz yechish uning umumiy yechimini (yoki umumiy integralini) topishni anglatadi.
(2) differensial tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini ta‘minlaydigan muhim shartlardan biri xususiy hosilaning uzluksizligidir. Ba‘zi bir nuqtalarda ushbu shart bajarilmasligi va ular orqali birorta ham integral chiziq o‘tmasligi yoki, aksincha, bir nechta integral chiziqlar o‘tishi mumkin. Bunday nuqtalar differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi.
Differensial tenglamaning integral chizig‘i faqat uning maxsus nuqtalaridan iborat bo‘lishi mumkin. Ushbu egri chiziqlar tenglamaning maxsus yechimlari deb yuritiladi.