O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

Teorema. Normal taqsimot qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bu qonunning parametriga teng, ya’ni
, (3.12)
uning dispersiyasi esa – parametrga teng, ya’ni
(3.13)
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi:

almashtirish o‘tkazamiz. U holda , , integrallash chegaralari o‘zgarmaydi va demak,


(toq funksiyadan koordinat boshiga nisbatan simmetrik oraliq bo‘yicha integral sifatida, birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral - Eyler-Puasson integrali).
tasodifiy miqdorning dispersiyasi:

Avvalgi integralni hisoblashdagi kabi o‘zgaruvchini xuddi o‘shanday almashtiramiz. U holda

Bo‘laklab integrallash metodini qo‘llab, hosil qilamiz

Parametrlar va (yoki ) o‘zgarishida normal egri chiziq qanday o‘zgarishini oydinlashtiramiz. Agar bo‘lib, parametr, ya’ni taqsimot simmetriyasi markazi o‘zgarsa u holda normal egri chiziq abssissalar o‘qi bo‘ylab formasini o‘zgartirmay siljiydi (4.6-rasm).

Agar bo‘lib, (yoki ) parametr o‘zgarsa, u holda egri chiziq maksimumi ordinatasi o‘zgaradi. o‘sishi bilan egri chiziq maksimumi ordinatasi kamayadi, biroq har qanday taqsimot egri chizig‘i ostidagi yuza birga teng bo‘lib qolishi lozim bo‘lgani tufayli egri chiziq abssissalar o‘qi bo‘ylab cho‘zilib, yassiroq bo‘lib qoladi; aksincha, ni kamayishida, normal egri chiziq yuqoriga tortiladi, bir vaqtda yon tomonlaridan siqiladi. 4.7-rasmda parametrli normal egri chiziqlar ko‘rsatilgan, bu yerda . Shunday qilib, parametr (u matematik kutilma ham hisoblanadi) normal egri chiziqni vaziyatini, parametr esa (u dispersiya ham) normal egri chiziq formasini xarakterlaydi.
Tasodifiy miqdorning parametrli normal taqsimoti, ya’ni standart yoki normalashgan taqsimot, mos normal egri chiziq esa standart yoki normalashgan egri chiziq deyiladi.
Normal taqsimot qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini formula bo‘yicha bevosita topishning murakkabligi shu bilan bog‘liqki, (3.11) funksiyadan olingan integral elementar funksiyalarda «olinmaydigan» hisoblanadi. Shuning uchun uni jadvali tuzilgan

Laplas funksiyasi (ehtimollar integrali) orqali ifodalashadi. Laplas funksiyasi, Muavr-Laplas integral teoremasini ko‘rganimizda, bizga uchraganini eslatib o‘tamiz. U yerdayoq uni xossalari ko‘rilgan edi.