|
1-ta’rif. { , } ehtimolliklar tasodifiy miqdorning taqsimoti deb ataladi.
Agar B to‘plam sifatida oraliqni olsak, bu holda biz haqiqiy o‘qda aniqlangan funksiyaga ega bo‘lamiz.
2-ta’rif. funksiya tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Kelgusida, agar tushunmovchiliklar keltirib chiqarmasa, ni kabi yozamiz.
Quyida ko‘rish mumkinki, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uning taqsimotini to‘laligicha aniqlaydi va shu sababli taqsimot o‘rniga ko‘p hollarda taqsimot funksiyasi ishlatiladi.
1-misol. tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos ravishda p va q ehtimolliklar bilan qabul qilsin (p+q=1), ya’ni va . Bu holda uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi.
2. taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi хossalarini keltiramiz. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda quyidagi хossalarga ega:
F1. agar bo‘lsa, u holda (monotonlik хossasi);
F2. (chegaralanganlik хossasi);
F3. (chapdan uzluksizlik хossasi).
Тeorema. Agar funksiya F1, F2 va F3 хossalarga ega bo‘lsa, u holda shunday ehtimollik fazosi va unda aniqlangan tasodifiy miqdor mavjud bo‘lib, bo‘ladi.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.
3-misol. tasodifiy miqdor “birlik” (xos) taqsimotga ega deyiladi, agar biror a haqiqiy son uchun bo‘lsa. Bu taqsimot uchun taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
4-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsa, bu tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi. Ushbu taqsimot bilan boq‘liq ba’zi masalalarga III bobda to‘liqroq to‘xtalib o‘tamiz.
5-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:
6-misol. Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda – o‘zgarmas sonlar. Agar bo‘lsa, bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega deyiladi va uning taqsimot funksiyasi
bo‘ladi. Ushbu tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin emas. Bundan va lar mos ravishda taqsimotning “siljishi” va “masshtabi” parametrlari ma’nolariga ega bo‘lishligi kelib chiqadi.
7-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni
ehtimolligiklar bilan qabul qilsa, uni geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi
Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish imkoniyatini beruvchi har qanday хarakteristika tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladi. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni sifatida tengsizlik ehtimolligini aniqlovchi interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar ma’lum bo‘lsa, u holda taqsimot funksiyasini
formula orqali topishimiz mumkin. O‘z navbatida, yordamida iхtiyoriy va lar uchun funksiyani topishimiz mumkin:
.
Тasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar bilan qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorni to‘laligicha хarakterlash uchun ehtimolliklarni bilish yetarli, ya’ni ehtimolliklarni barchasi yordamida taqsimot funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
,
bu yerda yig‘indi bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay bo‘ladi, ya’ni
Qiymatlar
|
х1 х2 х3 …
|
Ehtimolliklar
|
p1 p2 p3 …
|
Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, .
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdorlar kiradi:
bu yerda .
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha lar uchun
ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun tenglik o‘rinli. Masalan, parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: .
zichlik funksiyasi nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun o‘q gorizontal asimptota, nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda ning a=0 va bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha nuqtalarda bo‘lib, tenglik o‘rinli.
10-rasm
2.Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik.
Mayli, va Borel funksiyasi bo‘lsin. U holda tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng:
.
Agar – kamaymaydigan funksiya bo‘lib, uning uchun teskari funksiya aniqlangan bo‘lsa, u holda
.
Xususan, agar uzluksiz bo‘lsa, tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor va berilgan taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasiga ega bo‘ladi.
Boshqa xususiy holda, ya’ni , holatda
bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, uchun , uchun esa
.
Endi tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish masalasini qaraylik.
Yuqoridagilarga qo‘shimcha ravishda funksiya differensiallanuvchi va tasodifiy miqdor zichlik funksiyasiga ega bo‘lsin. U holda ning quyidagi zichlik funksiyasi mavjud
.
Misol uchun , bo‘lganda
.
1-misol. Agar va o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va da tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda uchun
bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin, u holda
,
agar bo‘lsa,
.
Shunday qilib,
Do'stlaringiz bilan baham: | 
