O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI
Xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna
« Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi »


5A130101 «Matematika»
magistr akademik darajasini olish uchun yozilgan


DISSERTATSIYASI


Ilmiy rahbar:
f.m.f.n dots. M. Artiqov.


T E R M I Z-2022
M U N D A R I J A


Mavzu: Chekli ayirmalar usuli va matematika-fizika masalalarni yechishdagi tadbiqi


Kirish


I-bob. Asosiy tushunchalar
1. Tur va tur fuksiyalari. Oddiy differinsial operatorlarni approksimatsiyalash.
2. Ayirmali masala. Turg’unlik.
II-bob. Issiqlik o’tkazish tenglamasi uchun ayirmali sxema.

1. 
   O’zgarmas koeftsientli tenglamalar uchun sxemalar. Approksimatsiya xatoligi.
   
2. 
   Turg’unlik. Yaqinlashish va xatolik.
   
3. 
   O’zgaruvchi koeftsientli tenglamalar uchun ayirmali sxemalar. Balans usuli. Konservativ sxemalar.
   
4. 
   Uch qavatli sxemalar. Ayirmali tenglamalar sistemasini yechish. Trogonka ususli.
   
5. 
   Kvaznchiziqli tenglamalarni yechishni ayirmali usuli.
   

III-bob. Dirixle masalasini yechish uchun chekli ayirmalar usuli.

1. 
   Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi.
   
2. 
   Maksimum prinsipi. Bir jinsli bo’lmagan tenglama yechimini baholash. Dirixle ayirmali masalasini yechishning yaqinlashishi.
   
3. 
   Ayirmali masalalarni oddiy iteratsiya usuli bilan yechish.
   

Xulosa


Adabiyotlar
KIRISH


1. Masalaning dolzarbliga va uning tarixi. Kvant mexanikasi, qattiq jismlar nazariyasi va statistik fizika masalalarini yechish ko‘p hollarda differensial yoki integral operatorlar qatnashgan tenglama yechimlari xossalarining tadqiq qilish masalasiga keltiriladi. Differensial operator qatnashgan tenglamani yechish esa integral operatorli tenglamani yechish masalasiga keladi. Shunday ekan, biz ushbu magistrlik dissertatsiyasida integral operatorlar qatnashgan tenglamalarni yechish usullariga to‘xtalamiz. Aniqrog‘i uch tipdagi integral operatorlarning xos qiymatlarini va rezolventasini topishning uch xil usulini namoyish qilamiz. Shundan Fredholm va Fridrixs tipidagi operatorlarga ko‘proq to‘xtalamiz. Integral operatorlar va ular bilan bog‘liq integral tenglamalar nazariyasi Nuemann, Volterra, Liuvill, Fredholm, Fridrixs, Hilbert va Shmidtlar tomonidan rivojlantirilgan (qarang [1,6,7,9,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]).
Ushbu magistrlik dissertatsiyasida fazoda berilgan Volterra, Fredholm, Fridrixs tipidagi integral operatorlarni, ya'ni
,
,

operatorlarni va ular bilan bog‘liq integral tenglamalarni qaraymiz. Butun magistrlik dissertatsiya ishi davomida biz dan chegaralangan va o‘lchovli hamda simmetriklik shartini talab qilamiz, ya’ni:
A) va kvadratda aniqlangan, haqiqiy qiymatli chegaralangan, o‘lchovli funksiya bo‘lishini talab qilamiz.
Faraz qilaylik, Fredholm tipidagi integral operatorning nuqtadagi rezolventasini topish talab qilingan bo‘lsin, ya’ni

tenglamani, yoki bu yerda va deb olsak, u holda
(0.1)
tenglamani yechish masalasi qo‘yiladi.
Bu integral tenglamaning yechimlari uch xil metod yordamida va uch xil formada beriladi. Bular:
1) Ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli bo‘lib, bu usul Nuemann, Volterra, Liuvillar tomonidan rivojlantirilgan. Bu usulda yechim parametrning darajali qatori shaklida ifodalanadi va parametr darajasi oldidagi koeffitsiyentlar ning funksiyasidan iborat. Bu darajali qator parametrning absolyut qiymati biror chekli sondan kichik bo‘lgandagi barcha qiymatlarida yaqinlashadi [13,14].
2) Ikkinchi metod Fredholmga tegishli bo‘lib, yechim parametr darajalaridan iborat ikkita qatorning nisbati shaklida ifodalanadi. Suratdagi qator koeffitsiyentlari ga bog‘liq bo‘lib, maxrajdagi qator koeffitsiyentlari esa ga bog‘liq emas. Har ikkala qatorlarning yaqinlashish radiuslari cheksiz bo‘ladi [1,22].
3) Uchinchi metod Hilbert va Shmidtlar tomonidan ishlab chiqilgan bo‘lib, yechim

integral operatorning xos funksiyalari (fundamental funksiyalari) va ning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalanadi [1,13,14].
Ushbu magistrlik dissertatsiyasida parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalari yechimlari xossalari o‘rganilib, ular integral operatorlar qatnashgan integral tenglamalarni yechishga qo‘llaniladi. Chiziqli integral tenglamalarni yechishning yuqorida bayon qilingan ikki usuli keltiriladi va misollarga tadbiq qilinadi.
Biz ushbu magistrlik dissertatsiyasida fazoda parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini yechish usullari bilan shug‘ullanamiz. Dastlab Fredholm va Volterra tipidagi integral tenglamalarni ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini bayon qilamiz. Keyin esa parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz. So‘ng esa integral tenglamalarni Fredholm tomonidan berilgan yechish usulini batafsil bayon qilamiz.
Integral tenglamalarni yechish usullari quyidagi
(0.2)
operatorning xos qiymatlarini tekshirishda qo‘laniladi. (0.2) ko‘rinishdagi operator, aniqrog‘i

operator birinchilardan bo‘lib Fridrixs tomonidan uzluksiz spektr qo‘zg‘alishlari nazariyasining sodda modeli sifatida [21] ishda qaralgan. Bunda yadro o‘z o‘zgaruvchilarining uzluksiz funksiyasi bo‘lib, Gyolder hamda quyidagi chegaraviy

shartlarni qanoatlantirishi talab qilingan. Bu shartlarda Fridrixs ning yetarlicha kichik qiymatlarida va operatorlarning unitar ekvivalentligini, ya’ni operator kesmani to‘ldiruvchi oddiy Lebeg spektriga ega ekanligi isbotlagan. Keyinchalik bu model Fridrixs modeli (yoki Fridrixs operatori) deb nom olgan.
Fridrixs ishlarining bevosita davomi L.D.Faddeev [15] va O.A.Ladijenskaya, L.D.Faddeev [16] ishlarida o‘z aksini topgan, ya’ni bu ishlarda Fridrixs modelida qo‘yilgan qo‘zg‘alishning kichiklik shartini olib tashlab va yadro daraja bilan Gyolder sinfiga qarashlilik shartida operator kesmani to‘ldiruvchi uzluksiz spektrga va kesmadan tashqarida yotuvchi ko‘pi bilan chekli sondagi chekli karrali xos qiymatlarga ega bo‘lishi isbotlangan.
Agar va lar haqiqiy qiymatli analitik funksiyalar bo‘lsa, u holda (0.2) tipidagi H operatorning xos qiymatlari soni chekliligi S.N.Laqayevning [18] ishida isbotlangan. Jumladan, S.N.Laqayev tomonidan qaralgan [17] ishda H operatorning uzluksiz spektri funksiyaning qiymatlar to‘plami bilan ustma-ust tushishi hamda qaralayotgan operatorning fizik rezonanslari uzluksiz spektr maxsus nuqtalarining atrofida yotishi ko‘rsatilgan. F.Sharipov va I.A.Ikromovlar [12] ishda va funksiyalar analitik bo‘lmagan holda ham operatorning xos qiymatlari soni chekliligini ko‘rsatishgan. Keyinchalik (0.2) ko‘rinishdagi operatorning ikki yo‘nalish bo‘yicha umumlashmasi, (birinchidan, -o‘lchamli vektor, ikkinchidan - o‘lchamli matritsa ko‘rinishli funksiya) [6, 7, 20] ishlarda qaralgan, ya’ni H operator fazoda (0.2) formula bilan aniqlangan operatordir. J.I.Abdullayev va S.N.Laqayevlarning [20] ishida ham [17] ishdagi natijalarga o‘xshash natijalar olingan, [7] ishda esa (0.2) ko‘rinishdagi H operatorning uzluksiz spektr ichida yotuvchi ixtiyoriy sondagi xos qiymatlari mavjudligi ko‘rsatilgan va bu xos qiymatlar kichik qo‘zg‘alishlar natijasida fizik rezonanslarga aylanishi hamda bu fizik rezonanslarning kengligining tartibi topilgan.
2. Masalaning qo‘yilishi. Ushbu magistrlik dissertatsiyasida fazoda parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini yechish usullari o‘rganish. Fredholm va Volterra tipidagi integral tenglamalarni ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli chegaralangan o‘lchovli funksiyalar sinfida bayon qilish. Keyin esa parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechish usulini keltirish. So‘ng esa integral tenglamalarni Fredholm tomonidan berilgan yechish usulini chegaralangan o‘lchovli funksiyalar sinfiga o‘tkazish.