O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»



Download 1,88 Mb.
bet13/15
Sana04.07.2022
Hajmi1,88 Mb.
#738515
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Bog'liq
Magistrlik ishi SARVINOZ oxiri (Tugadi)

III-bob. Dirixle masalasini yechish uchun chekli ayirmalar usuli.

Laplas tenglamasi uchun chegarasi S sirtdan iborat bo’lgan biror D sohada Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi deb, ikkita x , ξ € D U S nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G(x ,ξ ) funksiyaga aytiladi :



  1. G(x ,ξ ) ushbu ko’rinishga ega

G(x ,ξ ) = E(x ,ξ )+g (x ,ξ ) , (1)
bu yerda E(x ,ξ ) ----- Laplas tenglamasinig fundamental yechimi , g (x ,ξ ) esa , x € D bo’yicha ham , ξ € D bo’yicha ham garmonik funksiyadir ;

  1. x yoki ξ nuqta D sohaning S chegarasida yotganda

G(x ,ξ ) =0 (2)
Bu ta’rifga asosan G(x ,ξ ) funksiya ξ nuqtadan tashqari barcha D sohada garmonik funksiyadir .
Bu ta’rifdan yana shu narsa ko’rinadiki , G funksiya g (x ,ξ ) yordamida aniqlanadi , g (x ,ξ ) esa ,o’z navbatida D da garmonik bo’lib , S da yoki qiymatlarga teng .Bu yerda g (x ,ξ ) shunday garmonik funksiyaki , u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi .Ayrim hollarda bunday funksiyani topish ancha qulay bo’ldi .Bu ma’lum bo’lgandan so’ng chegarada ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi garmonik funksiyani topish mumkin bo’ldi. Agar (3) yoki (4)


Formulada u(x) ni Dirixle masalasining yechimi deb hisoblab , E(x ,ξ ) o’rniga G(x ,ξ ) ni olsak ,u holda

formula hosil bo’ladi .
Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa , (4) formula Dirixle masalasining yechimini beradi . (4) formula bilan ifodalangan u(x) funksiyaning garmonikligi G(x ,ξ ) ning x≠ξ da x ning garmonik funksiyasi ekanligidan kelib chiqadi .Bu funksiyaning

Chegaraviy shartni qanoatlantirishi alohida isbot talab qiladi.
Grin funksiyasining xossalari.

1) Barcha D sohada G(x ,ξ ) ≥0 . Haqiqatan ham , G(x ,ξ ) funksiyaning maxsus nuqtasi ξ ni markaz qilib yetarli kichik δ radiusli shar chizamiz , bu sharning chegarasi Sδ orqali , D-Qδ ni esa Dδ orqali belgilab olamiz.


bo’lgani sababli yetarli kichik δ uchun sharda G(x ,ξ ) > 0 bo’ladi .
Demak , Dδ sohaning S+ Sδ chegarasida G(x ,ξ ) ≥0 .
Bundan ,ekstremum printsipiga asosan ,x€ Dδ nuqtalar uchun ham G(x ,ξ ) ≥0 bo’ladi .Bundan darhol barcha D U S da G(x ,ξ ) ≥0 ekanligi kelib chiqadi .
2) x€D nuqtalarda

Bu tenglik (31) formuladan barcha D da u(x)=1 bo’lganda darhol kelib chiqadi
3) G(x,ξ) Grin funksiyasi x va ξ nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir ,ya’ni
G(x,ξ)= G(ξ,x)
Bu xossani isbotlash uchun x, ξ € D nuqtalarni markaz qilib ,yetarli kichik ε radiusli sharlarni chizamiz Bu sharlarning chegarasini C va C1 orqali belgilab olamiz .
desak , sohada G(y,x) , G(y,ξ) funksiyalar garmonik bo’ladi .
Bu holda (7) ga asosan (6) ushbu

Tenglik o’rinli bo’ladi . bo’lgani uchun

Tenglik hosil bo’ladi .Bundagi birinchi integralni J1 orqali belgilab olamiz ,ya’ni

Bunda y€ C , bo’lgani sababli ,C da

tengsizliklar o’rinli bo’ladi .

ni e’tiborga olsak , C da r=ε bo’lgani uchun

Tengsizlikka ega bo’lamiz . Bunga asosan

(32) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz , yani

n- sohaga nisbatan tashqi normal bo’lgani uchun . Shu sababli C da
.
Demak,

Ravshanki ,



y=x+θε almashtirishni bajarsak ,y€ C bo’lganda , θ€ S1 ­­­­ -birlik sfera bo’ladi .Shu sababli

Bunga asosan ,

Xuddi shunga o’xshash

Demak ,


Dirixle masalasining shar uchun yechilishi .


Agar D soha shardan iborat bo’lsa , Grin funksiyasining aniq ifodasini topish mimkin . Bu holda (6) formula bilan aniqlangan garmonik funksiyasining chegaraviy shartni qanoatlantirishini ko’rsatish ham qiyin emas .
Shunday qilib , D soha markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan shar bo’lsin Uni chegaralab turgan sferani SR orqali belgilab olamiz . x va ξ bu sharning ichki nuqtalari bo’lsin .
Faraz qilaylik , x≠0 bo’lib , x ga SR sferaga nisbatan simmetrik nuqta y bo’lsin , ya’ni
(7)
bo’lganligi sababli , y nuqta SR sferadan tashqarida yotadi .Ushbu



funksiya y nuqtadan tashqari barcha ξ nuqtalarda garmonik , xususiy holda D sohada ham garmonik bo’ladi . Tekshirib ko’rish qiyin emaski , ξ€ SR bo’lganda bu funksiya qiymatni qabul qiladi . Haqiqatan ham, agar ξ€ SR bo’lsa , Oxξ va Oξy uchburchaklar (a-rasim ) o’xshash bo’ladi, chunki ular umumiy O burchakka ega va bu burchakni hosil qilgan tomonlari (7) tenglikka asosan proporsional

Download 1,88 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish