III-bob. Dirixle masalasini yechish uchun chekli ayirmalar usuli.
Laplas tenglamasi uchun chegarasi S sirtdan iborat bo’lgan biror D sohada Dirixle masalasininmg Grin funksiyasi deb, ikkita x , ξ € D U S nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G(x ,ξ ) funksiyaga aytiladi :
G(x ,ξ ) ushbu ko’rinishga ega
G(x ,ξ ) = E(x ,ξ )+g (x ,ξ ) , (1)
bu yerda E(x ,ξ ) ----- Laplas tenglamasinig fundamental yechimi , g (x ,ξ ) esa , x € D bo’yicha ham , ξ € D bo’yicha ham garmonik funksiyadir ;
x yoki ξ nuqta D sohaning S chegarasida yotganda
G(x ,ξ ) =0 (2)
Bu ta’rifga asosan G(x ,ξ ) funksiya ξ nuqtadan tashqari barcha D sohada garmonik funksiyadir .
Bu ta’rifdan yana shu narsa ko’rinadiki , G funksiya g (x ,ξ ) yordamida aniqlanadi , g (x ,ξ ) esa ,o’z navbatida D da garmonik bo’lib , S da yoki qiymatlarga teng .Bu yerda g (x ,ξ ) shunday garmonik funksiyaki , u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi .Ayrim hollarda bunday funksiyani topish ancha qulay bo’ldi .Bu ma’lum bo’lgandan so’ng chegarada ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi garmonik funksiyani topish mumkin bo’ldi. Agar (3) yoki (4)
Formulada u(x) ni Dirixle masalasining yechimi deb hisoblab , E(x ,ξ ) o’rniga G(x ,ξ ) ni olsak ,u holda
formula hosil bo’ladi .
Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa , (4) formula Dirixle masalasining yechimini beradi . (4) formula bilan ifodalangan u(x) funksiyaning garmonikligi G(x ,ξ ) ning x≠ξ da x ning garmonik funksiyasi ekanligidan kelib chiqadi .Bu funksiyaning
Chegaraviy shartni qanoatlantirishi alohida isbot talab qiladi.
Grin funksiyasining xossalari.
1) Barcha D sohada G(x ,ξ ) ≥0 . Haqiqatan ham , G(x ,ξ ) funksiyaning maxsus nuqtasi ξ ni markaz qilib yetarli kichik δ radiusli shar chizamiz , bu sharning chegarasi Sδ orqali , D-Qδ ni esa Dδ orqali belgilab olamiz.
bo’lgani sababli yetarli kichik δ uchun sharda G(x ,ξ ) > 0 bo’ladi .
Demak , Dδ sohaning S+ Sδ chegarasida G(x ,ξ ) ≥0 .
Bundan ,ekstremum printsipiga asosan ,x€ Dδ nuqtalar uchun ham G(x ,ξ ) ≥0 bo’ladi .Bundan darhol barcha D U S da G(x ,ξ ) ≥0 ekanligi kelib chiqadi .
2) x€D nuqtalarda
Bu tenglik (31) formuladan barcha D da u(x)=1 bo’lganda darhol kelib chiqadi
3) G(x,ξ) Grin funksiyasi x va ξ nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir ,ya’ni
G(x,ξ)= G(ξ,x)
Bu xossani isbotlash uchun x, ξ € D nuqtalarni markaz qilib ,yetarli kichik ε radiusli sharlarni chizamiz Bu sharlarning chegarasini C va C1 orqali belgilab olamiz .
desak , sohada G(y,x) , G(y,ξ) funksiyalar garmonik bo’ladi .
Bu holda (7) ga asosan (6) ushbu
Tenglik o’rinli bo’ladi . bo’lgani uchun
Tenglik hosil bo’ladi .Bundagi birinchi integralni J1 orqali belgilab olamiz ,ya’ni
Bunda y€ C , bo’lgani sababli ,C da
tengsizliklar o’rinli bo’ladi .
ni e’tiborga olsak , C da r=ε bo’lgani uchun
Tengsizlikka ega bo’lamiz . Bunga asosan
(32) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz , yani
n- sohaga nisbatan tashqi normal bo’lgani uchun . Shu sababli C da
.
Demak,
Ravshanki ,
y=x+θε almashtirishni bajarsak ,y€ C bo’lganda , θ€ S1 -birlik sfera bo’ladi .Shu sababli
Bunga asosan ,
Xuddi shunga o’xshash
Demak ,
Dirixle masalasining shar uchun yechilishi .
Agar D soha shardan iborat bo’lsa , Grin funksiyasining aniq ifodasini topish mimkin . Bu holda (6) formula bilan aniqlangan garmonik funksiyasining chegaraviy shartni qanoatlantirishini ko’rsatish ham qiyin emas .
Shunday qilib , D soha markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan shar bo’lsin Uni chegaralab turgan sferani SR orqali belgilab olamiz . x va ξ bu sharning ichki nuqtalari bo’lsin .
Faraz qilaylik , x≠0 bo’lib , x ga SR sferaga nisbatan simmetrik nuqta y bo’lsin , ya’ni
(7)
bo’lganligi sababli , y nuqta SR sferadan tashqarida yotadi .Ushbu
funksiya y nuqtadan tashqari barcha ξ nuqtalarda garmonik , xususiy holda D sohada ham garmonik bo’ladi . Tekshirib ko’rish qiyin emaski , ξ€ SR bo’lganda bu funksiya qiymatni qabul qiladi . Haqiqatan ham, agar ξ€ SR bo’lsa , Oxξ va Oξy uchburchaklar (a-rasim ) o’xshash bo’ladi, chunki ular umumiy O burchakka ega va bu burchakni hosil qilgan tomonlari (7) tenglikka asosan proporsional
Do'stlaringiz bilan baham: |