O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti xolmuminova Sarvinoz Tuxtayevna «Chekli ayirmalar usuli va uning matematika fizika masalalarini yechishdagi tadbiqi»

Barqarorlik. 1-§, 4-bandda ta'kidlanganidek, sxemaning barqarorligi farq masalasini hal qilishning kirish ma'lumotlariga (dastlabki ma'lumotlarga, o'ng tomonda va chegara shartlariga) doimiy bog'liqligini anglatadi. bu holat).
Keling, parametrning qaysi qiymatlari uchun sxema (3) dastlabki ma'lumotlar bo'yicha va o'ng tomonda barqaror ekanligini bilib olaylik. Buning uchun bir jinsli chegara shartlariga ega (32) masalani ko'rib chiqing. Keling, barqarorlik tushunchasini aniqlaylik.
(32) masala yechimi me’yor bo’yicha baholansin (masalan, ) ning o’ng tomoni. , normaga muvofiq (masalan,
Biz aytamizki, (32) (yoki (3)-(4)) sxema dastlabki ma'lumotlarga nisbatan barqaror va o'ng tomonda, agar etarlicha kichik uchun tengsizlik

bu yerda e M₁, M₂ h va dan mustaqil musbat konstantalar va h.k.

Yoki

bu yerda va dan mustaqil musbat konstantalardir.
Darhaqiqat, (37) shart bajarilsin. Biz uni shaklda yozamiz


(39) dan ketma-ket ni chiqarib tashlasak va uchun ekanligini hisobga olsak, biz hosil qilamiz.

Bu uchun (36) ni bildiradi. (38) qanoatlansa, shunga o'xshash Mulohaza yuritish orqali biz (40) ko'rinishdagi tengsizlikka erishamiz, unda o'rnini egallashimiz kerak ifodalar . Natijada, bilan yana (36) ni olamiz.
Sxema (32) uchun identifikatsiyadan (34) foydalanib, biz (36) ko'rinishdagi tengsizlikni o'rnatamiz, undan yuqorida aytilganlarni hisobga olgan holda (3) sxemaning barqarorligi kelib chiqadi.
Dastlabki ma'lumotlarga nisbatan barqarorlik masalasini aniqlashtirish uchun uchun (32) muammoni ko'rib chiqing va o'rnating.
uchun identifikatsiya (34) shaklga ega

bo'lsin. Keyin kvadrat qavs ichidagi ifoda manfiy emas va

Demak, boshlang'ich sharti tufayli bundan kelib chiqadi
bunda
bo'lsin, shuning uchun . belgilab, (35) dan foydalanib, topamiz.

Bunda

ya'ni uchun. Bu shartda (34) kvadrat qavs ichidagi ifoda manfiy emas va biz yana (42) ga kelamiz.
Shunday qilib, sxema (32) (va sxema (3)) normadagi dastlabki ma'lumotlarga nisbatan barqarordir ,agar shart bo'lsa.

Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik. Agar bo'lsa, u holda (43) shart har doim bajariladi va sxema (32) har qanday va uchun barqaror bo'ladi.

ya'ni aniq sxema shartli barqaror ( va ga tegishli (44) shartda barqaror). Ko'rsatish mumkinki, uchun aniq sxema beqaror, ya'ni aniq sxemaning barqarorligi uchun sharti zarur ( c₁ = const > 0 h va ga bog'liq bo'lmagan ixtiyoriy doimiydir).
(43) dan ko'rinib turibdiki, aniqlikning oshirilgan tartibi sxemasi shartsiz (har qanday h va uchun) barqaror, chunki .
Keling, o'ng tomonda (32) sxemaning barqarorligini baholashga o'tamiz. Biz identifikatsiyadan boshlaymiz (34). Quyidagi teorema amal qiladi.
Farq sxemasi (32) dastlabki ma'lumotlarda va o'ng tomonda barqaror

shuning uchun (32) muammoning z yechimi taxminni qanoatlantirsin
(45)
(26) va (31) tengsizliklardan foydalanib, biz bor

Agar bo'lsa, (34) dan tengsizlikni olamiz

So'ngra C₀ = 2 ni tanlab, biz bo'lamiz

Bu erdan darhol ergashadi

uchun bo‘lgani uchun teorema isbotlangan.
Izoh.Mulohazalarni biroz o'zgartirib, uchun teorema to'g'ri ekanligini ko'rsatishimiz mumkin, bunda (45) da o'rniga yozish kerak. (36) bilan taqqoslash shuni ko'rsatadiki,
uchun bilan (36) bahoni olish qiyin emas.
Biz dastlabki ma'lumotlarga nisbatan barqarorlikni isbotlash bilan cheklanamiz. (32) tenglamada ni o'rnatamiz, uni ga ko'paytiramiz va yig'indini ga ko'paytiramiz. Grin formulasi (20) va tenglamasidan foydalanib. ni olamiz. Demak, uchun borish
Bu baho uchun ham amal qiladi. Biroq, biz bu faktning isboti ustida to‘xtalib o‘tishga qodir emasmiz.
Biz (32) sxemaning barqarorligini normalarning farq analoglari bo'lgan va me'yorlarida isbotladik . Maksimal printsipning farqli analogidan foydalanib, sof yashirin sxemaning barqarorligini tekshirishimiz mumkin. yagona metrik, ya'ni,

Ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan bir o'lchovli parabolik muammo uchun bo'lgan simmetrik olti nuqtali sxema har qanday va uchun ham bir xil barqarordir:

Aniq sxemani ko'rib chiqing . Biz uni shaklda yozamiz

Agar bo'lsa, dan beri . Bu 7 s uchun ||<^|| o ni bildiradi C 1/2 va
Agar bo'lsa, dan beri . Bu uchun ni bildiradi va



Bu yerda, eslaylik, . Shunday qilib, aniq sxema dastlabki ma'lumotlarda yagona me'yorda va sharti bajarilsa, o'ng tomonda barqaror bo'ladi.


II-bob. Issiqlik o’tkazish tenglamasi uchun ayirmali sxema.

1. 
   O’zgarmas koeftsientli tenglamalar uchun sxemalar. Approksimatsiya xatoligi.