O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi termiz davlat unversiteti fizika matematika fakuteti «Kechgi Matematika»

4-eslatma: Tengsizlikni ikkala qismini a^x ifodaga bo’lib yuborish mumkin, bunda tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi.
8) x²∙5^x – 5^2+x <0 tengsizlikni yeching
5^x∙(x²-25)<0
5^x ga bo’lamiz
X²-25<0
X²<25
-5Javob: (-5:5)
5-eslatma : a^x = kx+b va a^x = kx² + bx + c ko’rinishdagi tenglamalar transtsendent tenglamalar deyiladi va bunday tenglamalarni yechishni taqribiy usullaridan boshqa umumiy usullar yo’q.
Grafik usulda bunday tenglama nechta ildizga ega ekanini aniq ko’rsatish mumkin.
9) 3^x = 2- x tenglama nechta ildizga ega?
Ushbu funksiyalarni qaraymiz y₁ =3^x va y₂ = 2-x. Bu funksiyalarning grafiklarini bitta koordinata tekisligida tasvirlaymiz.

Tasvirda ko’rinib turibdiki bu funksiyalarning grafiklari faqat bir marta kesishmoqda. Demak berilgan tenglama faqat bitta yechimga ega Javob : tenglama bitta ildizga ega.
Tarixiy ma’lumotlar : Turli fizik jarayonlarga bog;liq masalalarni hal qilishda ko’rsatkichli tenglamalar yechishga to’g’ri keladi.Masalan ,radioaktiv yemirilish ushbu m(t) =m₀ formula bilan ifodalanadi. Bunda m(t) va m₀ –radioaktiv moddaning mos ravishda t vaqt momentidagi va boshlang’ich t=0 vaqt momentidagi massasi, T- yarim emirilish davri (modda dastlabki miqdorining ikki marta kamayishgacha o’tgan vaqt oralig’i).

Havo bosimining ko’tarilishi balandligiga bog’liq ravishda o’zgarish ,cho’lg’amga o’zgarmas kuchlanishni ulangandagi o’zinduksiya toki kabi hodisalar ham ko’rsatkichli funksiya orqali ifodalanadi.

2-§. Logarifmik tenglamalar.
Maktab matematika kursida logarifmik tenglamaga ta’rif berib, so‘ngra uni yechish usullari ko‘rsatiladi.
Ta`rif. Noma’lum miqdor logarifm belgisi ostida qatnashgan tenglamalar logarifmik tenglamalar deyiladi.
Masalan, lgx=3-lg5, lgx=lg2, 2lg lg(15-2x) va hokazo. Logarifmik tenglama ham ko‘rsatkichli tenglama singari transsendent tenglama turiga kiradi. Log<sub>a</sub>x=b tenglama eng sodda logarifmik englamadir. Bu yerda a, b lar ma’ lum sonlar, x noma’ lum sondir. Bu ko‘rinishdagi tenglama x=a<sup>b</sup> bitta yechimga ega bo'ladi. Logarifmik tenglamaning yechish jarayonida o`qituvchi o‘quvchilarga logarifmik funksiya va uning xossalari haqidagi ma’lumotlarni takrorlab berish lozim. Ayniqsa, o‘qituychi ko‘paytmaning lg(a b)=lga+lgb, kasrning lg =lga-lgb va darajaning lg aⁿ=nlg a logarifmlari hamda logarifmlarning bir asosidan boshqa asosiga o‘tishlog_ab= formulasi va qoidalarini imkoniyat boricha isboti bilan tushuntirib berishi maqsadga muvofiqdir, chunki logarifinik tenglamalarni yechish jarayonida ana shu qoidalardan foydalaniladi. Logarifmik tenglamalami yechish jarayonida ko`pincha lgA=lgB bo`lsa, A=B bo`ladi degan qoidaga amal qilamiz. Ayrim hollarda 0‘quvchilar IgA +lgB -lgC tenglikdan ham A + B –C bo`ladi degan noto`g‘ri xulosaga keladilar. Mana shunday xatoliklarni oldini olish uchun o`qituvchi yuqoridagi tengliklarni aniq misollar yordamida ko`rsatib berishi lozim. Masalan. l5+lg9=lg45. Bu tenglikdan yuqoridagi xato mulohazaga ko‘ra 5+9=45 bo`lishi kerak, bunda 14≠45. Bundan ko‘rinadiki, lg A +lg B =lg C dan A + B = C deb yozish katta xatolikka olib kelar ekan. Demak, lgA +lgB=lgC bo`lsa, ikki son ko‘paytmasining logarifmi qoidasiga ko‘ra lg(A B)=lgC, bo`ladi, bundan A B =C ekanligi ko‘rsatish kifoya. lg5+lg9=lg45, lg(5 9)=lg45. 45=45. log_af(x)=log_ag(x) tenglamani yechish uchun f(x )= g (x ) tenglamani yechish kerak va topilgan yechimlar ichidan f( х)>0, g(x)>0 tengsizliklami qanoatlantiradiganlarini tanlab olinadi. f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari esa log_af(x) =log_ag(x) tenglama uchun chet ildiz bo`ladi. Har qanday logarifmik tenglama ayniy almashtirishlar yordamida uni log<sub>a</sub>f(x) =log<sub>a</sub>g (x ) ko‘rinishga keltirib, f (x )=g(x ) tenglamani yechish orqali va yangi o`zgaruvchi kiritish orqali yechiladi. Logarifmik tenglamalarni yechishni uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash lozim.
1 - misol.
Log_ax=btenglama yechilsin.
Yechish.
Agar a>0 va а≠1 bo'lsa, x= a^b bo`ladi.
2 – misol
tenglama yechilsin.
Yechish.
lg2x ning aniqlanish sohasi x>0 bo‘Iadi. lg(4x-15) ning aniqlanish sohasi 4x-15>0, bundan x> bo`ladi. Bundan tashqari 4x-15≠0 yoki x≠4 bo`lishi kerak, bularga asoslanib tenglamaning aniqlanish sohasi x>3 va x≠ 4 bo'ladi.
Tenglamani yechish uchun quyidagicha ayniy almashtirish bajaramiz:
lg2x=21g(4x-15), lg2x=lg(4x-15)2x=16x<sup>2</sup>- 120x+225 yoki 16x<sup>2</sup> -122x+225=0, bundan x<sub>1</sub>= yechim tenglamaning aniqlanish sohasida yotadi, shuning uchun x<sub>1</sub>= 4 yechim bo‘ladi.
3 - m i s о 1.
Log<sub>2</sub>(lgx+2 +1)-log<sub>2</sub>( +1)=1 tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamadagi o‘zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari sohasi x≥l bo`ladi. Berilgan tenglamani potensirlasak, yoki
=1 bundan x = 10.
Javob: x=10
4 - m i s о l.
= 100 tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglamadagi nomalumning qabul qiladigan qiymatlar sohasi x>0 dir. Tenglikning har ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz:
lgx
Agar lgx=t desak, lg100=2 bo`ladi. U holda (1 +t)t=2 yoki
t²+t-2=0, bundan t₁=1, t₂=-2. lgx=1, bundan x₁ =10, lgx=-2,
bundan x₂=
Javob.x₁ = 10, x₂=10^-2
5-misol.
lg tenglama yechilsin
Yechish.
Bu tenglamaning aniqlanish sohasi 5x-4>0 va x+1 >0 bo‘lishi kerak, bundan x > bo’ladi. Tenglamani potensirlasak: yoki . Bunda 5x²+x-328=0, bundan x₁=─ va x₂ =8,x₁ bo’lgani uchun yechim bo’lolmaydi.
Javob. x=8.
6-misol
lgx tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>0. Agar lgx=y desak, y²= y²+3y-4=0, bundan y₁=1 va y₂=-4 bo’ladi,u holda lgx=1 yoki x= 10, lgx=-4 yoki x=10^-4
J a v о b. x₁=10, x₂=10^-4
7-m i s о I.
log₅x+ log_x5 = 2,5
Yechish.
Tenglamaning aniqlanish sohasi x>0 va х≠1.Bu tenglamada logarifm asoslarini bir xilga keltirish kerak. Buning uchun log_ab= formuladan foydalanamiz: log_x5+(log ₅x)^-1=2,5, agar log₅=y desak,
y+y^-1=2,5 yoki y²-2,5y+1=0. Uni yechsak,y₁ =2 va y₂ =2^-1 . Bularga ko’ra log₅x=2 bunda x=25 va log₅x=2^-1~ , bundan x = .
Javob: x₁ = 25, x₂= Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishda ham algtbraik tenglamalr sistemalarini yechishda qo‘llanilgan usullardan ( o‘zgaruvchilarni almashtirish, algebraik qo‘shish, yangi noma‘malum kiritish va h.k.) foydalanish mumkin. Bunda birorta usulni sistemani yechishdga qo‘llashdan oldin sistema tarkibiga kirgan har bir tenglamani soddaroq ko‘rinishga keltirish lozim.
1-misol. 
tenglamalar sistemasini yechamiz. u = 64^x , v = 64^y desak, u va v ga nisbatan

tenglamar sistemasini olamiz. Bu Sistema
4 ta yechimga ega: 
   
Ammo u = 64^x, v =64^y bo‘lgani uchun u >0, v > 0 bo‘ladi. Shuning uchun topilgan 4 ta yechimdan dastlabki 2 tasini olamiz. Demak, berilgan sistemani yechish quyidagi 2 ta tenglamalar sitemasini yechishga keltiriladi:
 
Birinchi sistemani yechib, x₁ =  y₁ =  ni, ikkinchi sistemani yechib esa y₂ =  x₂ = ni topamiz. Javob