O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi termiz davlat unversiteti fizika matematika fakuteti «Kechgi Matematika»

3-§.Parametrli logarifmik va ko`rsatkichli tenglamalarni yechishi.
Parametrli logarifmik va ko'rsatkichli tenglamalani yechish parametrsiz shunday tenglamalardan ana shu parametni qanoatlantiruvchi tenglama yechimini uning yo’l qo'yiladigan qiymatlari ichidan izlash bilan farq qiladi.
1-m i s о 1.
Log<sub>a</sub>(a+ ) = tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamani yechish uchun avvalo uning parametrini qanoatlantiruvchi yo‘l qo'yiladigan qiymatlar sohasini topamiz:
x>0, x≠1, a 0, a≠1. Log<sub>a</sub>(a+ )=log<sub>a</sub>x<sup>2</sup>
Potensirlash qoidasiga ko'ra a+ =x<sup>2</sup> =x<sup>2</sup>-a, bu yerda x<sup>2</sup>>a tenglikning har ikki tomonini kvadratga ko'tarsak,
a+x=x<sup>4</sup>-2ax<sup>2</sup>+a<sup>2</sup>,a<sup>2</sup>-(2x<sup>2</sup>+ 1)a+(x<sup>4</sup>- x)=0 bu tenglamani yechsak,
a<sub>1,2</sub>= hosil bo’ladi: a<sub>1</sub>=x<sup>2</sup>+x+l vaa<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>-x tenglamani yechamiz:
x<sup>2</sup>-x-a=0 tenglamaning yechimi yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotmaydi, x<sup>2</sup>-a> 0, x>0 bo'Igani uchun a = x<sup>2</sup> -x tenglamani yechamiz: x<sup>2</sup>-x-a=0, bundan
x<sub>1,2</sub>= = =
Bulardan: x<sub>1</sub>= x<sub>2</sub>=
Bu yechimlardan x<sub>1</sub>= tenglamaning yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotadi, shuning uchun u yechim bo'ladi. Bu berilgan tenglamaning logarifm xossalari va potensirlashga ko'ra a = = x<sup>2</sup> ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglamaningа+х+ =x<sup>2</sup>=xagar =bdesak, b<sup>2</sup> + b = x<sup>2</sup>+ xhosil bo’ladi. Bundan
(a<sup>2</sup> –b<sup>2</sup>)+(x -b) =0,
(x - b)(x+ b)+ (x- b)= 0,
(x - b)(x + b +1) = 0;
x+b+1≠0 bo’lgani uchun x-b=0 bo’ladi, b ning o‘rniga ni qo‘ysak, x- =0 yoki x<sup>2</sup>-x -a = 0 bo’ladi. Biz bu tenglamani yechishni yuqorida ko‘rib o‘tdik.
2-misol.
tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamadagi o`zgaruvchining yo’l qo`yiladigan qiymati x≠0

a) a b> 0 bo’lsin, u holda tenglamaning ikkala tomonidagi ifodalarni ga bo’lamiz.

+ =m (m ) Agar =t desak, t + = m, bundan t² -t m + 1=0 bo’ladi.
Bu tenglamani yechamiz:
t_1,2= , , (1)
Bu yerda m≥2bo’ladi.

a) m>2 boisin, bu holda ( 1 ) ning har ikki tomonini 10 asosga ko'ra logarifmlaymiz: lg = lg(m± - lg2, x= a≠b

b) m=2 bo’lsin, u holda (1) quyidagi ko‘rinishni oladi:bundan: = 1, = ; a=b≠0 bo’lishi kerak.

2) a b =0 bo’lsin.

a) a = b - 0 bo’lsa, berilgan tenglamaning yechimi bo’lgan barcha sonlar.
b) a = 0, b≠0 yoki a≠0, b=0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emasdir.