4. Iqtisodiyotda qo’llaniladiga ayrim asosiy funksiyalar
1. Chiziqli funksiya.
Ma’lumki,
b
ax
y
(1)
formula bilan aniqlangan funksiyaga chiziqli funksiya deyiladi. Bu burchak koeffisiyenti
a
k
,
boshlang’ich ordinatasi
b
bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasidir.
1-misol. Biror korxonada ishlab chiqarilayotgan bir xil mahsulot xarajatini ikki
guruh:
1) mahsulot hajmiga, proporsional o’zgaruvchi xarajat, masalan, materiallar sarfi;
2) ishlab chiqarilgan mahsulot hajmiga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas xarajatlar,
masalan, ma’muriyat binosi ijarasiga, uni isitishga ketadigan va boshqa xarajatlar deb qarash
mumkin.
O’zgarmas xarajatlarni
b
bilan, o’zgaruvchi xarajatlarni, mahsulotning hir bir birligi
uchun
a
bilan belgilasak, biror davrda
x
birlik hajmdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun
ketgan umumiy xarajat
ax
b
y
bo’lib, bu chizi li funksiyadir.
2. Darajali funksiya. Bunday funksiya
x
y
(2)
formula bilan ifodalanadi, bunda
0
dan farqli ixtiyoriy haqiqiy son. Bu funksiyaning
aniqlanish sohasi
ko’rsatgichga bog’liq.
natural son bo’lsa, hamma haqiqiy sonlar uchun
aniqlangan,
butun manfiy son bo’lsa,
n
n
x
x
y
1
321
bo’lib,
0
x
bo’lgan hamma
x lar uchun aniqlangan (bunda
n
natural son).
n
/
1
ko’rinishdagi son bo’lsa,
n
n
x
x
x
x
f
y
/
1
)
(
bo’lib,
n
toq son bo’lsa,
)
,
(
intervalda,
n
juft son bo’lsa,
,
0
intervalda
aniqlangan.
Umuman olganda darajali funksiya o’zining aniqlanish sohasida uzluksizdir.
18-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiya hosilasi” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt
Reja.
1. Hosilaga keltiriladigan masalalar haqida.
2. Funksiya hosilasining ta’rifi.
3. Hosilaning geometrik ma’nosi.
4. Murakkab funksiya hosilasi va hosilalar jadvali.
5. Yuqori tartibli hosilalar.
6.Oshkormas va parametrik berilgan funksiyalarning hosilalari.
1. Hosilaga keltiriladigan masalalar haqida
Oniy tezlik haqidagi masala. Amaliyotda har xil jarayonlarni tekshirishda birinchi
navbatda, shu jarayonning kechishi tezligini aniqlash kerak bo’ladi. Tezlikni aniqlash haqidagi
masala fan va texnikaning eng asosiy masalalaridan biridir.
Oniy tezlik tushunchasini qanday aniqlash kerak?
(2) tenglikdan ma’lumki,
t
o’zgarmas bo’lganda,
t
S /
A dan
B
holatgacha
oraliqdagi o’rtacha tezlik bo’lib, uni
v
bilan belgilaymiz. Ma’lumki, (2) da
t
qancha kichik
bo’lsa,
t
momentdagi tezlikni shuncha yaxshiroq ifodalaydi. Bundan shunday xulosaga
kelamizki, erkin tushayotgan nuqtaning
t
momentidagi oniy tezligi
v
ni
v
o’rtacha
tezlikning
0
t
dagi limiti kabi aniqlaymiz, ya’ni
t
v
v
0
lim
Shunday qilib, oniy tezlikni hisoblash uchun qo’yidagi ko’rinishdagi limitni hisoblash
kerak bo’ladi.
t
S
v
t
0
lim
(3)
(3) ko’rinishdagi limitni hisoblashga ko’p sondagi amaliy masalalarni yechishda to’g’ri keladi.
Umuman, o’zgaruvchi miqdor o’zgarish tezligini topish masalasi, matematika fanining
eng ahamiyatli tushunchalaridan biri - hosila tushunchasiga olib keladi.
Shuning uchun (3) ko’rinishdagi limitlarni hisoblashni umumiy holda qarash zarur
bo’ladi.
2. Funksiya hosilasining ta’rifi. 1-ta’rif.
)
( x
f
y
funksiya
)
,
(
b
a
intervalda aniqlangan
bo’lib,
0
x
nuqtadagi funksiya
y
orttirmasining
x
argument orttirmasiga nisbatining,
argument orttirmasi nolga intilgandagi limitiga,
)
( x
f
y
funksiyaning
0
x
nuqtadagi hosilasi
deyiladi. Bu limit
dx
df
dx
dy
x
f
y
,
),
(
,
0
simvollardan biri bilan belgilanadi.
Shunday qilib, ta’rifga asosan
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
)
(
)
(
lim
lim
)
(
0
0
0
0
0
322
bo’ladi, bu limit mavjud bo’lsa, hosila
0
x
nuqtada mavjud deyiladi.
Hosilani topish jarayoni differensiallash deb ataladi.
Biz o’rganayotgan
)
( x
f
y
funksiya orqali qanday jarayon tavsiflan-masin, uning
hosilasi
)
( x
f
y
fizik nuqtai nazardan shu jarayon kechishining tezligini ifodalaydi.
Chunonchi,
vaqt,
Q
biror reaksiya natijasida olingan moddaning
momentdagi
miqdori bo’lsa, demak
Q
ning funksiyasi bo’ladi.
Q
dan olingan hosila, reaksiya
kechishining tezligini ifodalaydi.
vaqt,
Q
biror o’tkazgich kesim yuzidan vaqt birligida
o’tayotgan elektr miqdori bo’lsa,
Q
hosila tok kuchining o’zgarish tezligini ifodalaydi.
Q
isitilayotgan jismning o’zgaruvchi temperaturasini tavsiflasa,
Q
hosila isish tezligini
ifodalaydi.
Funksiya hosilasini hosila ta’rifiga asosan topishga bir necha misollar qaraymiz:
Umuman,
x
va
y
o’zgaruvchilarning fizik, iqtisodiy, kimyoviy ma’nolaridan voz
kechsak,
y
dan
x
bo’yicha olingan hosila,
y
ning
x
ga bog’liq bo’lib o’zgarishining tezligini
ifodalaydi.
3. Hosilaning geometrik ma’nosi. Hosila muhim geometrik ma’noga ega. Bu
funksiyaning
0
x
nuqtadagi hosilasi uning grafigiga
))
(
,
(
0
0
x
f
x
M
nuqtada o’tkazilgan
urinmaning
OX
o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagining tangensiga teng.
)
( x
f
y
egri chiziqqa
)
,
(
0
0
0
y
x
M
nuqtadan o’tkazilgan urinma tenglamasi
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
bo’ladi, bunda
)
(
0
0
x
f
y
. Funksiya grafigiga urinish nuqtasi
)
,
(
0
0
0
y
x
M
da
o’tkazilgan normalning tenglamasi
)
0
)
(
(
),
(
)
(
1
0
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
y
bo’ladi.
4. Murakkab funksiya hosilasi va hosilalar jadvali
1). Agar
)
( u
f
y
,
)
( x
u
, ya’ni
)
( x
f
y
murakkab funksiya bo’lsa,
)
( u
f
y
funksiyaning
o’zgaruvchi bo’yicha hosilasi
u
u
f
y
)
(
bo’ladi.
Agar
)
( x
f
y
va
)
( y
x
lar o’zaro teskari funksiyalar bo’lsa,
)
(
1
)
(
y
x
f
bo’ladi.
2). Differensiallash qoidalarini eslatib o’tamiz:
x
erkli o’zgaruvchi,
)
( x
u
u
va
)
( x
v
v
uning differensiallanuvchi funksiyalari
bo’lsin.
1.,
0
C o’zgarmas miqdor. 2.
1
x
. 3.
v
u
v
u
)
(
.
4.
v
u
v
u
v
u
)
(
. 5.
u
c
cu)
(
. 6.
2
v
v
u
v
u
v
u
.
3). Murakkab funksiya uchun hosilalar jadvali quyidagicha bo’ladi:
323
1)
0
,
)
(
1
u
R
n
u
nu
u
n
n
;
2)
;
1
)
(
u
na
a
a
u
u
3)
;
)
(
u
e
e
u
u
4)
u
na
u
u
a
1
1
)
(log
;
5)
u
u
u
1
)
(ln
;
6)
u
u
u
cos
sin
;
7)
u
u
u
sin
)
(cos
;
8)
u
u
u
tg
2
cos
1
)
(
;
9)
u
u
u
ctg
2
sin
1
)
(
;
10)
u
u
u
2
1
1
)
(arcsin
;
11)
u
u
u
2
1
1
)
(arccos
;
12)
u
u
u
arctg
2
1
1
)
(
;
13)
u
u
u
arcctg
2
1
1
)
(
;
14)
v
nu
u
u
vu
u
v
v
1
)
(
1
.
5. Yuqori tartibli hosilalar.
)
(x
f
y
funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deb,
uning hosilasidan olingan hosilaga, ya’ni
)
( y
ga aytiladi. Ikkinchi tartibli hosila
quyidagilarning biri bilan belgilanadi:
2
2
/
),
(
,
dx
y
d
x
f
y
.
)
(x
f
y
funksiyaning
n
-tartibli hosilasi deb uning
)
1
(n
tartibli hosilasidan
olingan hosilaga aytiladi va quyidagilarning biri bilan belgilanadi
)
(n
y
,
)
(
)
(
x
f
n
,
n
n
dx
y
d
/
. Ta’rifga ko’ra
)
1
(
)
(
n
n
y
y
.
6.Oshkormas va parametrik berilgan funksiyalarning hosilalari 1).
x
o’zgaruvchining
y
funksiyasi oshkormas ko’rinishda
0
)
,
(
y
x
F
berilgan bo’lsa,
y
hosilani topish uchun
0
)
,
(
y
x
F
tenglikni
x
bo’yicha differensiallab, so’ngra hosil bo’lgan
tenglamadan
y
ni topamiz. Ikkinchi va undan yuqori tartibli hosilalar ham shu kabi topiladi.
2). Funksional bo-lanish parametrik
t
y
y
t
x
x
324
ko’rinishda berilgan bo’lsa,
2
2
,
dx
y
d
dx
dy
hosilalar
3
2
2
2
2
2
2
,
dt
dx
dt
dy
dt
x
d
dt
dx
dt
y
d
dx
y
d
dt
dx
dt
dy
dx
dy
(1)
formula bilan topiladi.
19-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiyaning differensiali va uning taqribiy hisoblashdagi
tadbiqlari” mavzu bo‘yicha tayanch konspekt
Reja
1. Funksiyaning differensiali.
2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
3. Differensial hisobning asosiy teoremalari
1. Funksiyaning differensiali.
)
( x
f
y
funksiya
0
x
nuqtada differensiallanuvchi, ya’ni
hosilaga ega bo’lsa, ya’ni
0
0
,
,
0
x
y
x
y
y
x
y
im
x
lib, bunda
cheksiz kichik funksiya bo’ladi. Demak,
x
x
y
y
(1)
ladi. (1) formulaga funksiya orttirmasi uchun formula deyiladi.
1-ta’rif. Funksiya orttirmasining
x
y
bosh qismiga funksiya differensiali deyiladi va
dy
bilan belgilanadi.
Ta’rifga asosan,
x
y
dy
(2)
(2) formulada
x
y
bo’lsa,
x
x
dx
yoki
x
dx
bo’lib, funksiya differesiali
dx
y
dy
ko’rinishda bo’ladi.
Elementar funksiyalarning differensiali jadvalini keltiramiz.
1.
)
0
(
)
(
1
x
dx
nx
x
d
n
n
; 2.
);
1
,
0
(
ln
)
(
a
a
dx
a
a
a
d
x
x
3.
)
1
,
0
,
0
(
log
1
)
(log
a
a
x
dx
e
x
x
d
a
a
; 4.
dx
x
x
d
1
)
(ln
;
5.
xdx
x
d
cos
)
(sin
; 6.
xdx
x
d
sin
)
(cos
;
7.
dx
x
tgx
d
2
cos
1
)
(
; 8.
dx
x
ctgx
d
2
sin
1
)
(
;
9.
dx
x
x
d
2
1
1
)
(arcsin
; 10.
dx
x
x
d
2
1
1
)
(arccos
;
11.
dx
x
arctgx
d
2
1
1
)
(
; 12.
dx
x
arcctgx
d
2
1
1
)
(
325
2. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
(1) formuladan
dy
y
taqribiy tenglik kelib chiqadi, ya’ni
x
yetarlicha kichik
bo’lganda, funksiya orttirmasi uning differensialiga taqriban teng deyish mumkin. Bunda
dy
y
bo’lib, ya’ni
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
yoki
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
(3)
(3) formuladan funksiya qiymatini taqribiy hisoblashlarda foydalaniladi.
2-ta’rif.
)
( x
f
y
funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb funksiya
differensialidan olingan differensialga aytiladi va
2
2
)
(
)
(
dx
y
dx
y
d
dy
d
y
d
bilan belgilanadi.
Xuddi shunday,
n
n
n
dx
y
y
d
dx
y
y
d
)
(
3
3
,
...
,
differensiallar ham
aniqlanadi.
3. Differensial hisobning asosiy teoremalari
Biror funksiyaning hosilasini bilish funksional bog’lanish haqida xulosa chiqarishga imkoniyat
yaratadi. Hosila tushunchasining har xil tatbiqlari, xususan iqtisodga qo’llanilishida sodda lekin
muhim bo’lgan teoremalar va formulalar yotadi. Bu teoremalardan ayrimlarini isbotsiz
keltiramiz.
1. Ferma teoremasi. (1602-1665y. - atoqli fransuz matematigi).
)
( x
f
funksiya birorta
X
oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki
c
nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatga ega
bo’lib, hamda bu nuqtada chekli
)
( c
f
hosila mavjud bo’lsa,
0
)
( c
f
tenglik o’rinli bo’lishi zarur.
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. Teorema shartlari bajarilganda
X
oraliqda shunday
c
nuqta mavjud bo’ladiki, bu nuqtadan funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma
OX
o’qiga parallel bo’ladi(1-chizma).
1-chizma 2-chizma
2. Roll teoremasi. (Mishel Roll (1652-1719) fransuz matematigi). 1)
)
( x
f
funksiya
b
a,
kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli
b
a,
oraliqda
)
( x
f
chekli hosila
mavjud; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya teng
)
(
)
(
b
f
a
f
qiymatlarni qabul qilsa,
a
va
b
orasida shunday
c
nuqta topiladiki,
0
)
( c
f
tenglik bajariladi
.
b
c
a
Geometrik nuqtasi nazardan Roll teoremasi quyidagini bildiradi:
)
( x
f
y
funksiyaning chetki ordinatalari teng bo’lsa, egri chiziqda shunday nuqta topiladiki, undan egri
chiziqqa o’tkazilgan o’rinma,
OX
o’qiga parallel bo’ladi (2-chizma).
y
x
O
c
y
x
O
A
B
a
b
c
326
Do'stlaringiz bilan baham: |