O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

Xossa 21.1
. Matrisani transponirlash natijasida, ya’ni satrlarini ustun qilib 
yozilgan, uni qiymati o’zgarmaydi.
Isbot
. Haqiqatan, ta’rifga asosan satr va ustunlardan bittadan olingan, 
transponirlangan matrisada ustun va satrlarda bittadan olinadi va demak yig’indidagi 
har bir ko’paytma ham o’zgarmay qolaveradi, lekin uning ishorasini aniqlovchi 
o’rniga qo’yish
1
2
2
1
2
...
n
a
a
a




 
ga asosan
1
2
1
...
...
1
2
n
n

 




 



o’rniga qo’yishdan, ya’ni 

o’rniga qo’yishga teskari o’rniga qo’yishdan iborat 
bo’lib, ularning signaturalari
1
sign
sign




tengdir va demak hosil bo’lgan ko’paytma bir xil ishora bilan ham keladi. Shunday 
qilib, agar
1
11
21
12
22
2
1
2
...
....
....
n
n
t
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a















A
matrisaning transponirlash bo’lsa, u holda
t
A
A

bo’lar ekan.
Ushbu xossaga binoan determinantlarning qolgan xossalarini faqat satrlari 
uchun ta’riflaymiz va isbotlaymiz.
Quyidagi ikki xossalar determinantning istalgan satrlari bo’yicha chiziqli 
ekanligini anglatadi.
Xossa 21.2.
Agar determinantning biror satri ikkita qo’shiluvchilardan iborat 
bo’lsa, u holda bu determinant satrlari shu qo’shiluvchilardan iborat bo’lgan ikkita 
determinantning yig’indisidan iborat bo’ladi.

---

77 
Bu xossani quyidagi formulaviy shaklda yozilishi so’z bilan aytilishidan 
oydinroq bo’ladi: 
1
11
1
1
1
1
1
11
11
1
1
1
1
...
...
.... ...
....
....
...
...
....
...
...
...
.... ...
...
.... ...
....
....
....
....
...
...
...
...
....
....
n
i
i
in
in
n
nn
n
n
i
in
i
in
n
nn
n
nn
a
a
a
b
c
b
c
a
a
a
a
a
a
b
b
c
c
a
a
a
a






Isbot
. 


1
1
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
i
i
n
n
i
n
i
n
n
n
i
i
n
S
i
n
i
n
S
S
sign
a
b
c
a
sign
a
b
a
sign
a
c
a



















 










bo’lib, birinchi yig’indi
1
11
1
1
...
...
.... ...
....
....
...
...
....
n
i
in
n
nn
a
a
b
b
a
a
ga, ikkinchi yig’indi
1
11
1
1
...
...
.... ...
....
....
...
...
....
n
i
in
n
nn
a
a
c
c
a
a

---

78 
ga teng bo’ladi. 
Isbotlangan xossa determinantning satri bir nechta qo’shiluvchilar bo’lgan 
holda ham o’rinlidir.
Xossa 21.3.
Agar determinantning biror-bir satri umumiy ko’paytuvchiga ega 
bo’lsa, u holda bu umumiy ko’paytuvchini determinant belgisidan tashqariga chiqarib 
yozish mumkin, ya’ni
1
1
11
11
1
1
1
1
...
...
...
.... ...
...
.... ...
....
....
....
....
...
...
...
...
....
....
n
n
i
in
i
in
n
nn
n
nn
a
a
a
a
ka
ka
k a
a
a
a
a
a
 

. 
Isbot. Haqiqatan,
1
1
1
1
1
11
1
1
...
...
...
...
...
...
.... ...
....
....
...
...
....
i
n
n
n
n
i
i
n
S
n
S
i
n
i
in
n
nn
sign
a
ka
a
k
sign
a
a
a
a
a
k a
a
a
a












 








Xossa 21.4
. Agar determinantning biror satri nollardan iborat bo’lsa, u holda 
determinant nolga teng bo’ladi.
Isbot
. Haqiqatan, ta’rifga asosan yig’indidagi har bir ko’paytmadan shu satrdan 
albatta bitta element, ya’ni nol qatnashadi va demak ko’paytma nolga va ularning 
yig’indisi bo’lgan determinant ham nolga tengdir.
Xossa 21.5.
Determinantning ixtiyoriy ikkita satrlarini o’rnini almashtirish 
natijasida uning faqat ishorasigina o’zgaradi, ya’ni

---

79 
1
11
1
1
1
...
..
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
n
i
in
j
jn
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
 

1
11
1
1
1
...
..
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
n
j
jn
i
in
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a


 
. 
Isbot. Agar 
1
1
...
...
...
i
j
i
j
a
a
a



birinchi determinant umumiy hadi bo’lsa, satrlar 
almashtirishlarda hosil bo’lgan determinantning umumiy hadi
1
1
...
...
...
j
i
n
j
i
n
a
a
a
a




bo’ladi. Bu hadlarga oid o’rniga qo’yishlarni qarasak:
1
1
...
...
...
...
...
...
j
i
n
j
i
n










va 
1
1
...
...
...
...
...
...
j
i
n
j
i
n










larning ishorasi bir-biriga qarama-qarshi bo’ladi, 
1
,...,
,...,
,...,
i
j
n




o’rin 
almashtirishlarni 
i

nchi va 
j

nchi elementlarini o’rinlarini almashtirish 
(tranpozisiyalash) natijasida ularning signaturasi qarama-qarshi ishora bilan 
o’zgaradi. Shunday qilib, determinantlarning umumiy hadlari qarama-qarshi ishora 
bilan va demak determinantni o’zlari bir-biriga qarshi ishorali bo’ladi.
Bu xossadan to’g’ridan-to’g’ri quyidagi xossani hosil qilamiz:
Xossa 21.6.
Bir xil satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.
Isbot. Faraz qilaylik, determinant ikkita 
i

nchi va 
j

nchi satrlari teng 
bo’lsin. U holda oldingi xossaga asosan bu satrlarni o’rinlarini almashtirish natijasi 
unga ishorasi qarama-qarshi bo’lgan determinantni hosil qilamiz va ular aynan 
tengdir, ya’ni 
  
bo’lib, bundan
2
0,
0
 
 
hosil bo’ladi.
Shuni ta’kidlaymizki, 
2
0
 
dan hamma vaqt ham 
0
 
kelib chiqaveradi. 
Buning uchun 
P
maydon nol xarakteristikali yoki maydon kengaytmasi bo’lgan halqa 
nol xarakteristikali halqa bo’lishi kerak.
Xossa 21.3 va xossa 21.6. lardan quyidagi xossani hosil qilamiz:
Xossa 21.7. 
Proporsional satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.
Isbot.

---

80 
1
11
1
1
1
...
..
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
n
i
in
j
jn
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
 
determinantda 
i

nchi va 
j

nchi satrlar proporsional bo’lsin, ya’ni qandaydir 
k
element uchun
1
1
1
, ...,
j
i
jn
i
a
ka
a
ka


o’rinli bo’lsin. U holda 
j

nchi satrlardan 
k
ni determinant belgisidan tashqariga 
chiqarsak, hosil bo’lgan determinantning 
i

nchi va 
j

nchi satrlari bir xil bo’ladi 
va demak bu determinant nolga teng.
Xossa 21.8.
Agar determinantning biror satri qolgan satrlarining chiziqli 
kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda determinant nolga teng bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, determinantning 
i
satri 
1
2
, ,...,
j
i i
i

nchi satrlarining 
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsin, ya’ni 
,
1,
i
K i
s

 

1
2
1
2
...
,
1,
s
ij
i j
i j
s i j
a
a
a
a
j
n





 

. 
U holda determinant xossa 21.2.ga asosan yig’indilarga yoyib, bu yig’indi hadlardan 
xossa 21.3. ga asosan 
1
2
,
,...,
s
 

chiqaramiz va natijada yig’indi hadli 
determinantlarda satrlari bir xil determinantlar bo’lib, xossa 21.6. asosan ularning 
hammasi nollarga teng bo’ladi.
Endi biz determinantlarni hisoblashda muhim ahamiyat ega bo’lgan oxirgi 
xossani keltiramiz.
Xossa 21.9.
Agar determinantning biror satrini biror-bir 
K


elementga 
ko’paytirib, boshqa bir satriga qo’shsak, uning qiymati o’zgarmaydi.
Isbot. Determinantni 
i

nchi satrini 

ga ko’paytirib, 
j

nchi satriga 
qo’shamiz:

---

81 
1
11
1
1
1
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
....
...
n
i
in
j
jn
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
 
determinantdan
1
1
11
1
1
1
...
...
...
...
...
...
... ...
...
... ....
...
...
n
i
in
j
i
jn
in
nn
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



 



1
1
1
1
11
11
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
... ...
...
... ...
...
...
...
... ....
....
...
...
...
...
n
n
i
in
i
in
j
jn
i
in
nn
nn
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



     
. 
Bizga xarakteristikasi nol bo’lgan 
P
maydonda 
n

nchi tartibli determinant 
berilgan bo’lsin. Xossa 21.9.dan foydalanib, bu determinantda yetarlicha nollar paydo 
qilishimiz mumkin (II tip elementlar almashtirish kabi!) va natijada determinant, ya’ni 
yig’indini hisoblashni ancha yengillashtiramiz va agarda biz determinantning xossa 
21.5.dan foydalansak (I tip elementar almashtirishlar kabi!) biz determinant 
uchbrchaksimon shakli yoki zinapoyali (trapesiyasimon) shaklga olib kelamiz. 

---

82 
Ikkinchi holat bo’yicha determinant nolga teng bo’ladi, chunki nolli satrlar hosil 
bo’ladi, agarda determinant uchburchaksimon shaklga, ya’ni
1
12
11
2
22
...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
n
n
nn
a
a
a
a
a
a






  

,
11
22
0,
0,...,
0
nn
a
a
a






ko’rinishni olsa, u holdan determinant to’g’ridan to’g’ri foydalangan holda
11 22
...
nn
a a
a

 

  
hosil qilamiz. (Shuni ta’kidlaymizki, bu ishlarni II halqada ham bajarish mumkin!).
Misol
. Ushbu determinantni determinantlarni xossalaridan foydalanib, 
hisoblaymiz:
  



2
2
1
1
2
1
4
3
4
2 2
3
4
6
3
4
3
3
4
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2 0
1 6
2 0
1 6
2 0
1 6
2 1
1
11
22
0
3 7
0
3 7
0
0
11














   



Uchburchak usuli bilan hisoblab determinant 22 teng bo’lishligiga ishonch hosil 
qiling.