|
Xatoliklar nazariyasining teskari masalasi
funksiyaning mumkin bo‘lgan
xatoligiga ko‘ra argumentning mumkin bo‘lgan xatoligini topishdan iborat.
Bir o‘zgaruvchili
y
=
f
(
x
) funksiya uchun chegaraviy absolyut xatolikni quyidgi
formula bo‘yicha taqribiy hisoblash mumkin:
y
x
x
f
1
)
(
, bu yerda
0
)
(
x
f
.
Ko‘p o‘zgaruvchili
n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1
funksiya uchun bu masala ba’zi cheklovlarda
yechiladi: agar argumentlardan birining qiymatini o‘lchash yoki berilgan aniqlikda
hisoblash qiyin bo‘lsa, u holda aynan shu argument bo‘yicha xatolikni funksiyaning
talab qilinayotgan xatoligi bilan moslashtirish lozim; agar barcha argumentlarning
qiyatlarini ixtiyoriy aniqlikda aniqlash oson bo‘lsa, u holda teng ta’sir etish
prinsipini qo‘llash, ya’ni barcha ushbu
n
i
x
f
i
x
i
...,
,
2
,
1
,
qo‘shiluvchilarni
o‘zaro teng deb olish lozim. Barcha argumentlarning chegaraviy absolyut xatoligi
quyidagi formuladan aniqlanadi:
n
i
x
f
n
y
i
x
i
,
...
,
2
,
1
,
1
.
Ustivorlik, korrektlik, yaqinlashuvchanlik.
Agar boshlang‘ich ma’lumot-
larning kichik o‘zgarishlariga yechimning ham kichik o‘zgarishi mos kelsa, u holda
bunday
yechim ustivor
deyiladi. Ustivorlik bo‘lmagan joyda boshlang‘ich
ma’lumotlarning ozgina o‘zgarishi ham yechimning juda katta xatoligiga yoki
umuman noto‘g‘ri natijaga olib keladi. Bunday masalalar
boshlang‘ich
ma’lumotlarning xatoligiga sezgir masalalar
deyiladi. Masalan, 1) Ushbu (
x
–
a
)
n
=
,
31
bunda 0 <
< 1, ko‘phadning ildishlarini topish masalasida tenglamaning o‘ng
tarafidagi
tartibdagi qiymatga o‘zgarishi ildizning
1/
n
tartibdagi xatoligiga olib
keladi. Xususan, agar
x
6
= 10
-6
tenglamaning o‘ng tomonini 7
10
-6
ga oshirsak, ya’ni
x
6
= 8
10
-6
tenglamani qarasak, u holda ildiz 4
10
-2
ga (0,10 dan 0,14 gacha) oshadi.
2) Ushbu
P
(
x
) = (
x
–1)(
x
–2)...(
x
–20) =
x
20
– 210
x
19
+ ... Uilkinson misoliga ko‘ra
ko‘phadning ildizlari
x
1
= 1,
x
2
= 2, ...,
x
n
= 20. Faraz qilaylik, ko‘phadning
koeffisiyentlaridan biri biror kichik xatolik bilan hisoblangan. Masalan,
x
19
ning
oldidagi –210 koeffisiyentni 2
-37
(
10
-7
) ga oshiraylik. Agar hisoblashlar natijasini
11 ta ma’noli raqamgacha aniqlik bilan hisoblasak, ildizlarning umuman boshqa
qiymatlariga ega bo‘lamiz, bu ildizlarning yarmi mavhum bo‘lib qoladi. Bunday
hodisaning sababi bu masalaning o‘zi noustivor ekanligida, chunki hisoblashlar 11 ta
razryad aniqligida bajarildi va yaxlitlash xatoligi bunday natijalarga olib kelmaydi.
Masalani qo‘yishning muhim jihati bu uning korrekt qo‘yilganligida.
Masala
korrekt qo‘yilgan
deyiladi, agar quyidagi uchta shart bajarilsa: istalgan boshlang‘ich
ma’lumotlarda masalaning yechimi
mavjud
,
yagona
va
ustivor
bo‘lsa. Agar ana shu
shartlardan birortasi bajarilmay qolsa, bunday masala
nokorrekt qo‘yilgan masala
deyiladi. Yuqorida keltirilgan ikkita noustivor masala nokorrekt qo‘yilgan masalalar.
Bunday masalalarga sonli usullarni qo‘llash maqsadga muvofiq emas, chunki
hisoblashlardagi yaxlitlash xatoligi hisoblash qadamlarida keskin oshib boradi va
natijaning aniq yechimdan sezilarli chetlashishiga olib keladi. Ammo, shunga
qaramasdan, bugungi kunda ba’zi nokorrekt masalalarni ham yechishning usullari
ishlab chiqilgan. Bu, asosan, dastlabki masalani korrekt qo‘yilgan masalaga
almashtirib olishga asoslangan bo‘lib,
regulyarizatsiya usullari
deb ataladi.
Hisoblash jarayonining aniqligini baholashning yana bir muhim xarakteristikasi
bu sonli usullarning
yaqinlashuvchanligi
. Bu masalaning olinadigan sonli yechimi
dastlabki
yechimga
yaqin
ekanligini
bildiradi.
Iteratsion
jarayonning
yaqinlashuvchanligi va diskretlashtirish usulining yaqinlashuvchanligi tushunchalari
bir-biridan farq qiladi.
Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu jarayon
biror masalani yechish uchun ketma-ket yaqinlashishlar usulini qurishdan iborat. Bu
jarayon (iteratsiyalar)ning ko‘p marotaba takrorlanishi natijasida
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
, ...
ketma-ketlikka ega bo‘linadi. Bu ketma-ketlik
x = a
aniq yechimga yaqinlashadi
deyiladi, agar iteratsiyalar soni cheksiz oshganda bu ketma-ketlikning limiti mavjud
va u
a
ga teng bo‘lsa. Bu holda yaqinlashuvchi sonli usulga ega bo‘linadi (masalan,
tenglamani sonli yechishning Nyuton usuli, iteratsiyalar usuli va hokazo).
Diskretlashtirish usullarining yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu
usullarning g‘oyasi uzluksiz paramerlarga ega masalani funksiyalari fiksirlangan
nuqtalarda hisoblanadigan masalaga keltirishdan iborat. Bu yerda yaqinlashish
deganda diskret model yechimlari qiymatining mos ravishda boshlang‘ich masala
32
yechimlari qiymatiga diskterlashtirish parametrlari nolga intilganda yaqinlashishi
tushuniladi (masalan, kvadratur formulalar).
Yaqinlashishni o‘rganishda uning eng muhim tushunchalari bu uning ko‘rinishi,
tartibi va boshqa xarakteristikalari. Bu tushuncha quyida aniq sonli usullarni
o‘rganishda qaraladi.
Shunday qilib, masalaning yechimini biror aniqlikda olish uchun uning
qo‘yilishi korrekt bo‘lishi, uni yechish uchun qo‘llanilayotgan usul esa
yaqinlashuvchanlikka ega bo‘lishi lozim ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
