|
Taqribiy sonlar ustida amallar natijalarining xatoligi.
Taqribiy sonlar ustida
bajarilgan amallarning natijasi ham taqribiy. Bunday hisoblashlarning xatoligi
dastlabki sonlarning xatoliklari orqali quyidagi qoidalar bo‘yicha ifodalanishi
mumkin:
1) Sonlarni qo‘shish va ayirishda ularning absolyut xatoliklari qo‘shiladi:
.
)
(
)
(
)
(
b
a
b
a
b
a
b
a
Umumiy holda, agar
n
a
a
a
y
...
2
1
bo‘lsa, unda
.
)
(
)
(
1
n
i
i
a
y
Xususan
)
(
...
)
(
)
(
2
1
n
a
a
a
hol uchun
n
i
i
a
y
1
)
(
)
(
).
(
1
a
n
Agar
n
> 10 bo‘lsa, ushbu
)
(
3
)
(
1
a
n
y
Chebotaryev
formulasi
dan foydalaniladi.
Ikki son yig‘indisi yoki ayirmasining nisbiy xatoligi ushbu
;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
max
max
max
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
max
)
(
)
(
)
(
)
(
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
formulalar bo‘yicha hisoblanadi, bu yerda
a
>0,
b
>0;
b
a
;
)
(
),
(
max
max
b
a
,
b
a
b
a
/
. Agar
b
a
b
a
bo‘lsa, u holda
1
va bu hol
aniqlikning
katostrofik yo‘qotilishi
yoki
aniqlikning to‘la yo‘qotilishi
deb ataladi.
2) Ikki son bir-biriga ko‘paytirilganda yoki bo‘lingada ularning absolyut va
nisbiy xatoliklar qo‘shiladi:
;
)
(
)
(
)
(
a
b
b
a
a
b
b
a
b
a
;
)
(
)
(
)
(
b
a
b
a
;
)
(
)
(
2
2
b
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
.
)
(
)
(
b
a
b
a
Xususan, taqribiy son
k
ko‘paytuvchiga ko‘paytirilganda nisbiy xatolik o‘zgar-
maydi, absolyut xatolik esa
k
marta ortadi, ya’ni
)
(
)
(
a
k
a
k
,
)
(
)
(
a
a
k
.
29
3) Taqribiy son darajaga ko‘tarilganda uning nisbiy xatoligi daraja
ko‘rsatgichiga ko‘paytiriladi:
)
(
)
(
a
k
a
k
, xususan,
k
a
a
k
/
)
(
)
(
.
Umuman olganda, sonlar ustida amallar bajarishda quyidagi qoidalarga amal
qilgan ma’qul: 1) sonlar ketma-ketligini qo‘shishda va ayirishda ularni modulining
oshib borishiga qarab, ularni qo‘shib yoki ayirib borish kerak; 2) qiymati bir biriga
juda yaqin bo‘lgan sonlarni ayirishdan imkoniyati boricha qochish kerak; 3) ushbu
a
(
b
–
c
) ifodani
ab
–
ac
kabi, (
b
–
c
)/
a
ifodani esa
b
/
a
–
c
/
a
kabi yozish mumkin. Agar
b
va
c
sonlar bir biriga juda yaqin bo‘lsa, u holda ayirmani ko‘paytma va
bo‘linmadan oldin bajariz zarur; 4) hisoblashlarda arifmetik amallar sonini minimal
holatga keltirish tavsiya etiladi.
Xatoliklar nazariyasining to‘g‘ri masalasi.
Masala argumentning berilgan
xatoligi bo‘yicha funksiya qiymatini hisoblash xatoligini baholashdan iborat.
Funksiya xatoligi.
n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1
– ko‘p o‘zgaruvchili, uzluksiz, differen-
sialanuvchi funksiya absolyut xatoligining umumiy formulasi quyidagicha:
n
i
i
i
n
i
i
i
n
x
x
f
x
x
f
x
x
x
df
u
1
1
2
1
)
(
)
(
,...,
,
)
(
yoki bu tengsizlikni yanada kuchaytirsak,
n
i
x
i
i
x
f
u
1
)
(
yoki
n
i
x
i
u
i
x
f
1
,
bu yerda
i
x
– berilgan
)
...,
,
2
,
1
(
n
i
x
i
argumentlarning chegaraviy absolyut xato-
liklari. Xususan
c
=
a
–
b
ayirma uchun
b
a
b
b
a
a
c
c
c
. Chegaraviy
nisbiy xatolik ushbu
n
i
x
i
u
i
x
f
f
1
1
formuladan topiladi. Xususan, bir
o‘zgaruvchili
y
=
f
(
x
)
funksiya
uchun:
x
x
y
y
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
;
x
x
y
x
x
f
x
f
)
(
)
(
.
Masalan, ba’zi elementar funksiyalar uchun chegaraviy xatoliklar:
1)
y = x
k
– darajali funksiya uchun
x
k
y
kx
1
;
x
x
y
x
k
k
1
.
2)
y = a
x
– ko‘rastkichli funksiya uchun
x
x
y
a
a
ln
;
x
y
a
x
ln
;
xususan,
y = e
x
uchun:
x
x
y
e
;
x
x
y
x
.
3)
y=
lg
x
–
logarifmik
funksiya
uchun
;
)
10
ln
(
1
x
y
x
x
y
x
1
)
10
ln
lg
(
; xususan,
y =
ln
x
uchun
y
x
y
x
1
;
x
y
x
1
)
ln
(
.
4)
Trigonometrik funksiyalar uchun:
;
cos
sin
x
x
x
x
x
cos
30
;
sin
x
x
x
;
)
tg
1
(
2
tg
x
x
x
x
x
x
x
x
)
ctg
1
(
2
ctg
;
x
x
x
x
x
x
ctg
ctg
sin
;
x
x
x
x
x
x
tg
tg
cos
.
5)
Teskari trigonometrik funksiyalar uchun:
;
1
/
2
arccos
arcsin
x
x
x
x
);
1
/(
2
arctg
x
x
x
;
1
arcsin
/
2
arcsin
x
x
x
x
x
;
1
arccos
/
2
arccos
x
x
x
x
x
;
)
1
(
arctg
/
2
arctg
x
x
x
x
x
6)
z = x
y
funksiya uchun:
;
ln
/
y
x
x
y
x
x
y
z
;
ln
x
y
z
y
x
y
Bir argumentli funksiyaning absolyut va nisbiy xatoliklarini topish uchun ushbu
2
/
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
y
;
)
(
/
)
(
)
(
x
f
y
y
;
)
(
;
)
(
x
x
x
x
x
x
formulalardan foydalanish maqsadga muvofiq (xuddi shunday ko‘p argumentli
funksiya uchun ham).
Masalan,
x
= 0,63 argumentning qiymati 0,1% nisbiy xatolikka ega bo‘lsa
sin0,63 ning nisbiy xatoligi:
;
%
08
,
0
000864
,
0
001
,
0
63
,
0
ctg
63
,
0
)
63
,
0
(sin
bunda 0,00864<1
10
-3
bo‘lganligi uchun sin0,63 = 0,589145 qiymat verguldan keyin
kamida ikkita qat’iy ishonchli raqamga ega.
Do'stlaringiz bilan baham: |
