O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta-maxsus ta’lim vazirligi mirzo Ulug’bek nomidagi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA-MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
Mirzo Ulug’bek nomidagi

O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
R E F E R A T

Mavzu: Aniq integral
Bajardi: Xolbaev A.


Toshkent 2014
Reja;

1. 
   Aniq integralga olib keluvchi masala;
   
2. 
   Aniq integral tushunchasi. Integralning mavjudligi;
   
3. 
   Aniq integralning xossalari;
   
4. 
   Aniq integralni hisoblash usullari:
   
   1. 
      Aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash;
      
   2. 
      Aniq integrallarni o’zgaruvchini almashtirish usuli bilan hisoblash;
      
   3. 
      Aniq integrallarni bo’laklab integrallash usuli bilan hisoblash.
      

Masala

Faraz qilaylik, moddiy nuqta to’g’ri chiziq bo’yicha vaqt oralig’ida tezlik bilan harakat qilsin. Uning shu vaqt oralig’ida bosib o’tgan yo’li topilsin.

Ma’lumki, tezlik o’zgarmas, ya’ni bo’lsa, u holda o’tilgan yo’l

bo’ladi.

Agar tezlik o’zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi bo’lsa, unda masalani echishga quyidagicha kirishiladi:

1. 
   vaqt oralig’i ni nuqtalar yordamida ta qismga ajratiladi, bunda
   

;

2. 
   har bir oraliqda ixtiyoriy nuqtani olib, tezlikning shu nuqtadagi qiymati topiladi:
   

3) ni oraliqning uzunligi ga ko’paytiriladi.

(1)

Bu miqdor, tezlik ni oraliqda o’zgarmas va u ga teng deb olinganda, nuqtaning oraliqda bosib o’tgan yo’lini (taqriban) ifodalaydi.

4. 
   (1) ko’paytmani ning qiymatlari uchun yozib, so’ng ularni yig’ib ushbu
   

yig’indini hosil qilinadi. Bu yig’indi ushbu orqali quyidagicha yoziladi:

. (2)

Ravshanki, (2) yig’indi nuqtaning oraliqda bosib o’tgan yo’lini taqribiy ifodalaydi, chunki tezlik vaqtning ixtiyoriy funksiyasi bo’lgan holda uni har bir da o’zgarmas deb olindi. Demak,

.

deb, bu larning eng kattasini deylik.

Endi oraliqning bo’laklash sonini orttira borilsa (bunda har bir nolga, ya’ni intilsin), u holda

miqdor izlanayotgan yo’lni tobora aniqroq ifodalay boradi. Binobarin,

bo’ladi.

Shunday qilib nuqtaning tezligiga ko’ra o’tilgan yo’lni topish masalasi maxsus tuzilgan yig’indining limitini topishga kelar ekan.

Shunga o’xshash ko’pgina masalalar, jumladan sterjenning zichligiga ko’ra uning massasini topish, egri chiziqli trapesiyaning yuzini topish, o’zgaruvchi kuchning bajargan ishini topish masalalari ham yuqoridagiga o’xshash yig’indining limitini topishga keladi. Bunday yig’indining limiti oliy matematikada muhim bo’lgan aniq integral tushunchasiga olib keladi.