|
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
66
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Л е м м а 4. При
u V
линейная форма
( , , )
v
b u u v
непрерывна на
1
V ;
1
( , , )
( ( ), ),
( )
b u u v
g u v
g u
V
(4.14)
причем
3
1
3
2
1
(
( ))
( )
L
V
g u
c u
(4.15)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что
12 5
3
2
4
(
( ))
( )
,
1
3
6
( , , )
( , , )
,
i
j
L
L
i j
b u u v
b u v u
c u
D v
так как
3
12 5
( )
( )
L
L
, то получим
3
3
2
5
(
( ))
( )
,
1
3
6
( , , )
( , , )
,
i
j
L
L
i j
b u u v
b u v u
c u
D v
откуда ввиду леммы 2 следует (4.15).
Л е м м а 5. Пусть
2
(0, ; )
(0, ;
)
u
L
T V
L
T H
. Тогда
4
3
3
(0, ;( ( )) )
u
L
T L
.
(4.16)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
{ }
i
u
u
. Имеем
2
1
2
(0, ;
( ))
(0, ;
( ))
i
u
L
T H
L
T L
.
(4.17)
Согласно теореме Соболева,
1
6
( )
( )
H
L
, и из (4.17) следует, что
2
6
2
(0, ;
( ))
(0, ;
( ))
i
u
L
T L
L
T L
.
В силу неравенства Гёльдера
3
6
2
6
1
1
1
2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i
i
i
i
L
L
L
L
u t
u t
u t
c u t
,
откуда
4
3
(0, ;
( ))
i
u
L
T L
т.е. приходим к (4.16).
Л е м м а 6. Вложение
1
V
H
компактно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, поскольку
1
V
V
, и в силу (см.[24] стр.62 теорема
2) и теоремы 2 вложение
1
V
H
компактно.
С л е д с т в и е 1. Спектральная задача ( в обозначениях (4.1))
2
1
(( , ))
( , )
w v
w v
v V
допускает последовательность ненулевых решений
j
w
, отвечающих последовательности
собственных значений
j
:
2
1
((
, ))
(
, )
,
0
j
j
j
j
w v
w v
v V
.
(4.18)
Заметим, что вектора
3
3
3
(1
, 0, 0), (0,1
, 0), (0, 0,1
)
l
l
l
являются собственными
векторами, отвечающие собственному значению
1
. Обозначим их через
1
2
3
,
,
w w w
соответственно.
Мы используем функции
j
w
в качестве «специального базиса» в методе – Галёркина в
следующем пункте.
Введем обозначение
( , )
(
, ),
(V, V )
a u v
Au v
A F
.
(4.19)
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
67
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Теорема 5. Для любого решения задачи (4.10)-(4.13) имеет место включение
2
1
(0, ; )
u
L
T V
(4.20)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, используя (4.14) и (4.19), мы выведем из (4.12),
что
( )
u
Au
g u
f
.
(4.21)
Согласно (4.15) и (4.16)
2
1
( )
(0, ; )
g u
L
T V
; так как
2
2
(0, ;
),
(0, ;
)
Au
L
T V
f
L
T V
и
1
V
V
то из (4.21) следует (4.20).
3. Доказательство существование решения задачи (4.10)-(4.13).
5.1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ. Воспользуемся базисом
1
2
,
,
,
,
,
m
w w
w
введенным
посредством (4.18).
Определим приближенное решение
( )
m
u
t
порядка m следующим образом:
1
1
( )
,
,
,
( )
( )
,
m
m
m
m
jm
j
j
u t
w
w
u t
g
t w
(
( ),
)
(
( ),
)
(
( ),
( ),
)
( ( ),
),
1
,
m
j
m
j
m
m
j
j
u t w
a u t w
b u t u t w
f t w
j
m
(5.1)
0
1
0
0
(0)
,
(0)
,
,
,
m
m
m
m
m
u
u
u
w
w
u
u
в
H
.
(5.2)
Эта система дифференциальных уравнений (относительно
( )
jm
g
t
) позволяет определить
( )
m
u
t в интервале
0,
m
t
; ниже покажем, что можно взять
m
t
T
.
3.2. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА (I). Представим приближенное решение
( )
m
u
t в виде суммы
1
2
( )
( )
( )
m
m
m
u t
u
t
u
t
, где
3
1
1
( )
( )
,
m
jm
j
j
u
t
g
t w
2
4
( )
( )
m
m
jm
j
j
u
t
g
t w
.
Оценим функцию
1
( )
m
u
t .
Умножим (5.1) на
( ),
1, 2,3
im
g
t i
и просуммируем по
i
; так как
Легко проверить, что ( ( ), ) 0, ( ( ),
( ),
) 0
m
i
m
m
i
a u t w
b u t u t w
то получим:
2
1
1
1
( )
( ( ),
( ))
2
m
m
d
u
t
f t u
t
dt
.
откуда
2
2
2
1
1
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
m
m
m
V
V
d
u
t
c f t
u
t
c f t
c u
t
dt
интегрируя по t получим
2
2
2
2
1
1
1
2
1
0
0
( )
(0)
( )
( )
t
t
m
m
m
V
u
t
u
c
f
d
c
u
d
откуда
2
1
3
2
( )
exp
m
u
t
c
c T
Теперь оценим приближенное решение
( )
m
u
t .
Умножим (5.1) на
( )
jm
g
t
и просуммируем по j ; так как
(см. лемму 3) ( ,
,
)
0,
m
m
m
b u u u
то получим:
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
68
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
2
2
2
1
2
1
( )
(
( ),
( ))
( ( ),
( )
( ))
2
m
m
m
m
m
d
u t
a u
t u
t
f t u
t
u
t
dt
.
Положим
( , )
v
a v v
(норма в
4
,
,
m
w
w
) .
Откуда
2
2
2
4
1
5
2
2
2
2
2
6
1
7
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
( )
( )
( )
2
m
m
m
m
V
V
m
m
V
d
u t
u
t
c
f t
u
t
c
f t
u
t
dt
u
t
c u
t
c
f t
откуда
2
2
2
2
2
2
0
6
1
7
0
0
0
2
2
8
0
7
0
( )
( )
2
( )
2
( )
2
( )
t
t
t
m
m
m
m
V
T
V
u t
u
d
u
c
u
d
c
f
d
c
u
c
f
d
.
Используя (5.2), получим
m
t
T
и что
2
m
u ограничены в
2
(0, ; )
(0, ;
)
L
T V
L
T H
,
и следовательно
m
u ограничены в
2
(0, ; )
(0, ;
)
L
T V
L
T H
(5.3)
поскольку
2
2
2
2
m
m
m
V
u
u
u
.
5.3. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА (II). Теперь покажем, что
m
u
ограничены в
2
1
(0, ; )
L
T V
.
(5.4)
Пусть
m
P - проектор
1
,
,
m
H
w
w
, так что
1
( ,
)
m
m
i
i
i
P h
h w w
.
(5.5)
В обозначениях (4.14) и (4.19) мы введем из (5.1), что
( (
))
m
m
m
m
m
m
u
P g u
P Au
P f
(5.6)
Однако
1
1
( , )
1
m F V V
P
(по нашему выбору
j
w
); тогда из соображения двойственности
(поскольку
*
m
m
P
P
):
1
1
( , )
1
m
V V
P
F
.
Из (4.15), (4.16) и (5.3) следует , что ( )
m
g u
ограничены в
2
1
(0, ;
)
L
T V
, и, следовательно,
( (
))
m
m
P g u
ограничены в
2
1
(0, ;
)
L
T V
.
Далее, так как
m
Au ограничены в
2
(0, ;
)
L
T V
, а тогда и в
2
1
(0, ;
)
L
T V
,то (5.4) следует из
(5.6).
5.4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД (III). Воспользуемся теоремой о компактности 1,
полагая
Do'stlaringiz bilan baham: |
