|
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
69
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
0
0
1
1
1
,
2,
,
2,
.
B
V
p
B
V
p
B
H
Тогда из последовательности
m
u можно выделить такую подпоследовательность
u
, что
u
u
слабо в
2
(0, ; )
L
T V ,
(5.7)
u
u
*- слабо в
(0, ;
)
L
T H
,
u
u
сильно в
2
(0, ;
)
L
T H и почти всюду в
T
Q ,
(5.8)
u
u
слабо в
2
1
(0, ;
)
L
T V
.
(5.9)
Из (5.7), (5.9) следует, что
(0)
(0)
u
u
слабо в
1
V
(например) и что
0
(0)
u
u
.
Согласно лемме 5,
i
j
u u
ограничены в
3
2
2
(0, ;
( ))
L
T L
, и, следовательно, можно считать,
что
i
j
ij
u u
слабо в
3
2
2
(0, ;
( ))
L
T L
.
(5.10)
Однако по (5.8) мы имеем:
ij
i
j
u u
(5.11)
(чтобы это установить можно использовать (см. [13] стр. 25 лемма 1.3) или заметить, что
i
j
i
j
u u
u u
в
(
)
T
D Q
; действительно,
(
)
i
j
i
j
T
T
T
Q
Q
u u
dxdt
u u dxdt
D Q
,
поскольку
i
i
u
u
слабо в
2
(
)
T
L Q
,
j
j
u
u
сильно в
2
(
)
T
L Q
).
Из (5.10), (5.11) следует, что
(
,
,
)
( , ,
)
j
j
b u u w
b u u w
слабо в
2
(0, )
L
T .
В самом деле, если
2
(0, )
L
T
, то
0
0
(
,
,
)
(
,
,
)
T
T
j
j
b u u w
dt
b u w u
dt
,
и можно перейти к пределу, используя (5.10).
Между тем
(
,
)
( ,
)
j
j
u w
u w
, скажем в
(0, )
D
T
, и таким образом, равенство (5.1) (при
m
) в пределе дает равенство
( ,
)
( ,
)
( , ,
)
( ,
),
j
j
j
j
u w
a u w
b u u w
f w
выполненное для всех j . Отсюда вытекает справедливость (4.12)
1
v V
, и далее
v V
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fefferman Ch.Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation.
http://claymath.org/
millennium/ Navier-Stokes_Equation. –Cambridge,MA:Clay
Mathematics Institute,2000.- P.1-5.
2. Ладыженская О.А Решение «в целом» краевой задачи Навье-Стокса в случае двух
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
70
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
пространственных переменных // Доклады АН СССР.-1958.-Т.123, №3. С.427-429
3. Ладыженская О.А.,Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач
магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости // Труды МИАН СССР.-
1960. -Т.59. -С.115-173.
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидкости. -М.:
Наука, 1970. -288 с.
5. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: Уравнения Навье - Стокса,
существование и гладкость //УМН. -2003. -Т.58, №2(350). -С. 45-78.
6. Temam R. On the Theory and Numerical Analysis of the Nanier-Stokes Equations. College Park:
Univ. of Maryland. –Lecture Note, 1973. -V.9.
7. Temam R. Nanier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis.Studies in Math. and
it’s Appl.-Amsterdam, New York,Oxford: North Holland Pub.Comp., 1979. -V.2.
8. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости //
Известия АН СССР. Серия физическая. -1942. -Т.6, №1. -С . 56-58.
9. Leray J. Essai sur les mouvements plans d’un liquid visqueux que limitend des parois //
Jurnal Math. Pyres Appl. -1934. –V .9. –P. 331-418.
10. Leray J.Sur le movement d’un liquid visqueux emplissant l’espase.-Acta Math, 1934. – V . 63.
–P . 193-248.
11. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die Hydrodinamischen Grundgleichungen. –
Math.Nachr., 1951. –V.4. –P. 213-231.
12. Lions J.-L Equations differentielles et problems aux limites.–Berlin:Springen–
Verlag, 1961 (Grundlehren Math. Wiss., V.111).
13. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Изд. «Мир»
,1972.
14. Лионс Ж., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Изд.
«Мир», 1971
15. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические проблемы статистической
гидромеханики. – М.: Наука, 1980. -440 с.
16. Солонников В.А. Об оценках решений нестационарной задачи Стокса в
анизотропных пространствах С.Л .Соболева и об оценках резольвенты оператора Стокса //
Успехи математических наук. -2003 . – Т.58, № 2. -С. 123-156.
17. Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навъе-Стокса. ISSN
1682- 0525. Математический журнал. 2013. Том 13. № 4 (40).
18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., «Наука»,
1983.
19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального
анализа. М., «Наука», 1989.
20. Бурбаки Н. Интегрирование. (Меры, интегрирование мер), М., «Наука», 1967.
21. Шварц Л. Distributions a valeurs vectorielles, I,II, Ann. Inst. Fourier, 7(1957), 1-141;
8(1958),1-209.
22. De Ram. Дифференцируемые многообразия. М., Изд., «Иностранной литературы»,
1956.
23. Мадженес Е.Стампаккья Г.(Magenes E., Stampacchia G.) I problemi al contorno per le
equazioni differenziali di tipo ellittico. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, XII (1958), 247-358.
24. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд. Ленингр. ун-та, 1985.
Do'stlaringiz bilan baham: |
