|
Задача Навъе – Стокса состоит в нахождении неизвестных:
Вектора скорости u ,
Скалярной функции – давления
p
в точках
x
в момент времени
)
,
0
( T
t
,
удовлетворяющих системе уравнений
2
3
3
2
1
1
3
1
1
( , )
,
1, 2,3;
0,
( , )
.
i
i
i
j
i
T
j
j
j
i
j
i
T
i
i
u
u
u
p
u
f
x t
Q
i
t
x
x
x
u
x t
Q
x
(2.1)
Здесь
1
2
3
( ,
,
)
f
f
f
f
- внешные воздействия,
- плотность,
- коэффициент вязкости.Не
уменьшая общности, можно взять
1
,
1
.
К системе (2.1) добавляются начальные и граничные (мы по пространственным
переменнам задаём периодические краевые условия) условия:
0
0
,
;
t
u
u
x
(2.2)
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
63
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
0
k
k
x
x
l
u
u
,
(2.3)
0
,
k
k
k
k
x
x
l
u
u
x
x
0
,
1, 2,3; 0
k
k
x
x
l
p
p
k
t
T
2.4)
Чтобы однозначно определить давление
p
добавляем условие:
0
0
,
0.
pdx
Q
Q
const
(2.5)
Решением задачи будем называть пару
).
;
;
;
(
)
;
(
3
2
1
p
u
u
u
p
u
2. Формулировка основных теорем о существование решения задачи (2.1)-(2.5).
Теорема 4. При любых
0
u
H
и
2
(0, ;
)
f
L
T V
существует решение
2
(0, ;
)
(0, ;
)
u
L
T V
L
T H
,
(0, ; ( ))
p
D
T
задачи (2.1)-(2.5).
Прежде чем доказать теорему 4, приведем задачу (2.1)-(2.5) к эквивалентной задаче.
3.Приведение задачи (2.1)-(2.5) к эквивалентной задаче. Определим так
называемое слабое решение задачи (2.1)-(2.5). Для этого нам понадобятся следующие
обозначения: положим для
,
f g
из
H
1
2
3
1
( , )
,
( , )
i
i
i
f g
f g dx
f
f f
.
Пространство
3
(
( ))
s
H
мы снабдим гильбертовым скалярным произведением
3
( )
1
(( , ))
( , )
s
i
i H
i
s
u v
u v
(4.1)
Далее определим
1
V
= замыкание
в
2
3
1 2
2
1
(
( )) ,
(( , ))
V
H
u
u u
.
Тогда
1
,
V
V
H
(4.2)
причем каждое из этих пространств плотно в последующем.
Мы отождествляем
H
с его сопряженным:
H
H
. Мы можем также при «том же самом»
отождествлении отождествить
1
,
V V
с надпространствами
H
и, следовательно, пополнить
(4.2) включениями
1
1
.
V
V
H
V
V
По утверждению-1
1
,
V V рефлексивны.
Теперь положим
3
,
1
( , )
,
,
,
j
j
i j
i
i
u
v
a u v
dx
u v V
x
x
3
,
1
( , , )
(
)
k
k
i
i
i k
b u v w
u D u w dx
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
64
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
для тройки таких векторов
, ,
u v w
, для которых сходятся соответствующие интегралы; в этой
связи отметим такую лемму:
Л е м м а 1. Трилинейная форма , ,
( , , )
u v w
b u v w
непрерывна на
V V V
.
Доказательство. В самом деле, если
u V
, то
1
( )
i
u
H
и, следовательно, в силу
теоремы Соболева
6
( )
i
u
L
.
Заметив, что
( )
( )
( )
2
6
3
(
)
k
k i
i
k
k i
i
L
L
L
u D v w dx
u
D v
w
заканчиваем доказательство.
Заметив, что
0
divu
и (2.3) эквивалентно включению
2
(0, ; )
(0, ;
)
u
L
T V
L
T H
.
Следовательно, задача свелась к отысканию такого
2
(0, ; )
(0, ;
)
u
L
T V
L
T H
, что
2
(0, ;
)
f
L
T V
,
(4.3)
0
u
H
,
(4.4)
3
1
i
i
i
u
u
u D u
f
gradp
t
,
(4.5)
0
(0)
u
u
на
.
(4.6)
0
( )
( )
,
1, 2,3; 0
k
k
x
x
l
p t
p t
k
t
T
(4.7)
Следует отметить, что можно дать два определения пространства
V
, которые a priori в
ровной мере естественны:
первое определение:
V
= замыкание
в
1
3
(
( ))
H
второе определение:
1
3
0
0
{
(
( )) ,
0,
0, (
1, 2,3),
0}
x
l
x
l
x
x
k
k
k
k
k
u
V
u u
H
u
k
divu
x
.
Эти определения эквивалентны. В самом деле обозначим на минуту пространство из
второго определения через
V
. Ясно, что
;
V
V
установим обратное включение. Пусть
L
-
непрерывная линейная форма на
V
, равная нулю на
V
; силу теоремы Хана – Банаха
L
можно представить (не единственным образом) в виде
3
1
2
3
1
( )
( , ), ( ,
,
)
.
i
i
i
L v
L v
L L L
V
Так как
L
равна нулю на
V
, отсюда следует, что
L
равна нулю и на
1
3
0
(
( ))
V
H
,
то по теореме двойственности де Рама[22]
,
( ).
i
i
S
L
S
x
Однако можно показать [23], что
2
( )
S
L
. Покажем, что
0
0,
1, 2,3;
x
l
x
k
k
S
k
.
Действительно
3
3
3
1
1
1
( )
(
,
)
0,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
L v
v
S
v n
ds
S div vdx
S
v n
ds
v
V
x
,
Innovatsion texnologiyalar №1 (29) 2018 y.
65
TA’LIM VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI/ ОБРАЗОВАНИЕ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
3
3
1
1
( )
(
, )
0,
i
i
i
i
i
i
S
L v
v
S
v n ds
S div vdx
v V
x
Откуда следует упомянутая эквивалентность определений.
Если мы возьмем
, то учитывая условия (4.7), получим
(
, )
0
grad p
(в
3
(
(0, ))
D
T
),
(4.5) приводит к равенству
( , )
( , )
( , , ) ( , )
u
a u
b u u
f
.
(4.8)
Без труда можно проверить, что
( , , )
( , , )
b u u
b u
u
Так что (4.8) эквивалентно
( , )
( , )
( , , ) ( , )
u
a u
b u
u
f
.
(4.9)
Теперь мы можем формулировать задачу по другому.
Пусть заданы
2
(0, ;
)
f
L
T V
,
(4.10)
0
u
H
.
(4.11)
Ищется такое
2
(0, ; )
(0, ;
)
u
L
T V
L
T H
, что
( , )
( , )
( , , )
( , )
u v
a u v
b u u v
f v
v V
(4.12)
0
(0)
u
u
на
.
(4.13)
З а м е ч а н и е 2. Докажем эквивалентность двух приведенных выше формулировок.
Если u - решение задачи (4.3)-(4.7), то (4.9) выполнено для всех
, откуда
(4.10)-(4.13) следует с помощью предельного перехода в
V
; таким образом u - является
решением задачи (4.10)-(4.13).
Обратно, пусть u - решение уравнения (4.12). Тогда, если мы положим
3
1
,
i
i
i
u
u
u D u
f
S
t
то
S
будет принадлежать
3
(
(0, ;
( )))
D
T E
и
( , )
0
S
в
3
(
(0, ))
D
T
.
Отсюда следует, что
S
имеет вид
,
(0, ,
( ))
S
grad p
p
D
T E
,
и
p
удовлетворяет условию (4.7) .
В дальнейшем мы будем иметь дело с пространством
1
V
, и будем пользоваться
следующими леммами:
Л е м м а 2. Если
1
v V
, то
6
( )
i
j
D v
L
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле,
1
( )
i
j
D v
H
, и по теореме Соболева
1
6
( )
( )
H
L
.
Л е м м а 3. При
1
,
u V v V
имеем
( , , )
( , , )
b u u v
b u v u
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Этот результат очевиден для
,
u v
, затем надо перейти к
пределу.
Do'stlaringiz bilan baham: |
