O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi islom karimov nomidagi toshkent davlat texnika universiteti olmaliq filiali

2-MA’RUZA


2-Mavzu. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi. Suyuqlikning muvozanat hоlati uchun differensial (Eyler) tenglama. Teng bosimli sirtning tenglamasi
Rеjа:

1. 
   Suyuqlik muvozanat holatining differensial (Eyler) tenglamasi.
   
2. 
   Gidrostatik bosimning epyurasi.
   
3. 
   Suyuqliklarning nisbiy tinch holati.
   

Tаyanch so‘zlаr: gidrostatik bosim kuchlari, massa tufayli yuzaga keladigan kuch, parallelepipedning muvozanat holati, Eyler tenglamasi, teng bosimli sirt tenglamasi, gidrostatik bosim kuchining epyurasi, suyuqlikning nisbiy tinch holatlari.


2.1. Suyuqlik muvozanat holatining differensial tenglamasi
Barcha suyuqliklar muvozanat holatda bo‘lganda, uning tarkibidagi suyuqlik qatlamlari va zarrachalari orasida o’zaro ta’siri – gidrostatik bosim kuchi bilan ifodalanadi. Muvozanat holatidagi suyuqliklarga gidrostastik bosim kuchidan tashqari uning massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlar ta’sirida ham muvozanatda bo’ladi. Idishga quyilgan suyuqlik egallagan hajmning turli sathlaridagi gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari ham har xil qiymatlarga ega bo’ladi.
Idishdagi suyuqlik hajminng ixtiyoriy (A) (2.1- rasm.) nuqtasidagi gidrostatik bosim kuchining o’zgarish qonuniyatini aniqlash maqsadida ushbu nuqta atrofida joylashgan va qirralarining o’lchamlari dx, dy va dz bo’lgan elementar parallelopipedni ajratib olamiz hamda uning muvozanatini o’rganamiz. Ushbu ajratib olingan parallelopiped o’zining massasi tufayli ta’sir etuvchi kuchdan tashqari o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ta’sir etuvchi tashqi gidrostatik bosim kuchlarinining ta’sirida hisobiga uning muvozanat holati ta’minlanadi (2.2-rasm).

2.1- rasm. Ixtiyoriy nuqtadagi gidrostatik bosimni aniqlashga oid chizma.

Chizmada tasvirlanganidek parallelopipedning yon yoqlariga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari ushbu yoqlarga ichki normallar yo’nalishlarida ta’sir etmoqda, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari: parallelopipedning P_o’ng– o’ng tarafidan va P_ch.- chap tarafidan ta’sir etuvchilari hisoblanadi. Bu kuchlarning qiymatlari quyidagicha:

O’ng tarafdan ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
P_o’ng = (P + _{ }) (2.1)
Chap tarafdan ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
P_ch. = (P - _{ }) (2.2)
Bu yerda:
_{ } – P kuchning Ox o’qi bo’yicha olingan hosilasi, Ox o’qi bo’yicha bir uzunlik birligidagi o’zgaruvchi bosimi;
_{ } - gidrostatik bosimning Ox o’qi bo’yicha _{ } masofada o’zgarishi, yani A nuqtadan dydz yoqgacha.



2.2- rasm. Suyuqlik muvozanat holatining differensial tenglamasini isbotlashga oid chizma.

Shuningdek Ox o’qi yo’nalishi bo’yicha parallelopipedning yon yoqlariga ta’sir etayotgan gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari quyidagicha bo’ladi:

dP′_x = (P - _{ } dydz
(2.3)
dP″_x = (P + _{ }) dydz

Xuddi shuningdek boshqa o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ham parallelopipedning yon yoqlariga gidrostatik bosim kuchlari ta’sir etadi. Ajratib olingan parallelopiped tashqi gidrostatik bosim kuchlaridan tashqari massa tufayli yuzaga keladigan kuch ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi. Massa tufayli yuzaga keladigan kuchlarning teng ta’sir etuvchisini umumiy ko’rinishda quyidagicha yozishadi:

dM = dm˖γ = ρ˖dW˖γ = ρ˖dx˖dy˖dz˖γ (2.4)

Bu yerda,
ρ- suyuqlikning zichligi, [kg/sm³];
dW- elementar parallelopipedning hajmi, [m³; sm³]
γ- massa hisobiga yuzaga keladigan kuchning teng ta’sir etuvchisi, [N], uning o’qlar yo’nalishlari bo’yicha tashkil etuvchilarini quyidagicha belgilash qabul qilingan:
γ_x = X; γ_y = У; γ_z = Z.
Ajratib olingan parallelepiped ushbu kuchlar ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi, yani koordinata o’qlariga mos keluvchi muvozanat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha tenglama:
(P – _{ })˖dy˖dz + (P + _{ })˖dy˖dz + ρ˖dx˖dy˖dz˖X = 0 (2.5)
Ushbu tenglamaning barcha yaxlitlashlardan so’ngi, natijaviy ifodasi:
_{ } (2.6)
Xuddi shuningdek boshqa o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ham natijaviy tenglamalarni umumlashtirsak, u holda suyuqlikning muvozanat holati ifodalovchi tenglama:
_{ }; xdx
_{ } xdу … (2.7)
_{ } хdz
Hosil qilingan ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun differensial tenglama deyiladi. Ushbu tenglamaga binoan gidrostatik bosimning koordinata o‘qlari yo’nalishlari bo’yicha o‘zgarishi suyuqlik zichligining massa tufayli yuzaga keladigan og‘irlik kuchining shu o‘q yo‘nalishlaridagi proeksiyasiga ko‘paytmasiga teng bo’larkan, ya’ni muvozanatdagi suyuqliklarda gidrostatik bosimning o‘zgarishi suyuqlik massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlariga bog‘liq bo’larkan.
Suyuqlik muvozanat holatining differensial tenglamasini 1755 yilda L. Eyler tomonidan isbotlab berilgan, shuning uchun ham ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun Eyler (differensial) tenglamasi deb ham yuritiladi.
Gidrostatik bosim kuchlarining taqsimlanishini ifodalovchi ushbu tenglamadan foydalanish jarayonini qulaylashtirish maqsadida, jumladan tenglamani integrallash jarayonini yengillashtirish uchun uning har birini o’z navbatida dx, dy va dz larga ko’paytirib, chap va o’ng tomonlarining yig’indilarini keltirib chiqaramiz, yani tenglama:
_{ }dx+_{ }dу + _{ } (2.8)
yoki
_{ }dx +_{ }dу + _{ } (2.9)

Tenglamaning chap tomonidagi yig’indi gidrostatik bosimning to’liq differensialini beradi, yani tenglama:

dP = _{ }dx +_{ }dу + _{ } (2.10)

Bu tenglama suyuqlikning jinsliliga, jazodagi koordinatalariga mos ravishda gidrostatik bosimning o’zgarishini bildiradi va muvozanat holatdagi suyuqlikning har qanday nuqtasidagi bosimini aniqlab berish mumkinligini anglatadi.

Oxirgi tenglamadan teng bosimli sirt tenglamasini keltirib chiqarish mumkin (gidrostatik bosim suyuqlikning hamma nuqtalarida teng bo’lgan sirt, yani P = const.)
P = const. bo’lganda, dP = 0, ρ ≠ 0 emas, suning uchun teng bosimli sirtning tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.


_{ }dx +_{ }dу + _{ } (2.11)
2.2. Gidrostatik bosimning epyurasi
Gidravlikada amaliy masalalarning yechimini hal etish maqsadida gidrostatik bosim kuchining taqsimlanishini grafik ravishda tasvirlash qabul qilingan. Gidrostatik bosim kuchining grafik ravishda tasvirlanishi uning epyurasi deyiladi. Bu savolning yechimini hal etish maqsadida idishga joylashtirilgan suyuqlikning idish devorlariga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchining taqsimlanishini o’rganamiz (2.3- rasm).

2.3- rasm. Idishdagi gidrostatik bosimning epyurasini qurishga oid shema.

Gidrostatikaning asosiy qonuniga binoan ta’kidlashimiz mumkinki, u to’g’ri chiziqli funksiyani ifodalaydi va tarkibida erkin had mavjud, yani y = kx + b bog’lanishga mos keladi. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi (P=P_o+γh) da ham erkin had b kabi qo’shiluvchi mavjud bo’layapti va u suyuqlikning erkin sirtidagi atmosfera bosimini P_o bilan ifodalanayapti, burchak koeffisiyenti k ning qiymatiga esa suyuqlikning solishtirma og’irligi γ = ρ∙g mos keladi. Chizmada tasvirlanganidek boshlang’ich - atmosfera bosimi P_o va ortiqcha bosim γh larning qiymatlarini ma’lum masshtabda kesmalar tarzida joylashtiramiz hamda shu usulda gidrostatik bosim kuchlarning taqsimlanishini chizmada tasvirlaymiz.

Misol tariqasida solishtirma og’irliklari γ ning qiymatlari turlicha bo’lgan va H balandlikda to’ldirilgan suyuqliklarning AB vertikal devorga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlarning taqsimlanishini o’rganamiz. Suyuqliklarning solishtirma og’irliklari: γ_ben.=700 kgk/m³, γ_H20=1000 kgk/m³, γ_Hb=13600 kgk/m³. Buning uchun suyuqlik erkin sathining AB vertical devor bilan kesishgan joyidagi O nuqtani belgilaymiz va ushbu nuqtani koordinata boshi sifatida qabul qilamiz hamda atmosfera bosimini (o’zgarmas bo’lganligi uchun) hisobga olmagan holatda gidrostatik bosim kuchlarning qiymatlarini ma’lum masshtabda kesmalar tarzida quramiz. Natijada uchala suyuqliklarning AB vertical devorga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlarning epyurasini hosil qilamiz. Xuddi shu usulda har qanday suyuqliklarning turlicha balandliklarga to’ldirilanliklariga mos ravishda gidrostatik bosim kuchlarning taqsimlanishini topishimizga imkoniyat yaratiladi.
Gidrostatik bosim kuchlarning taqsimlanishini uchburchaklar shaklida tasvirlanmoqda va ularning qiyaliklari suyuqliklarning solishtirma og’irliklari (γ)ga bog’liq bo’ladi. Jumladan, γ_H20 uchun qiyalik burchagi β=45^o bo’lgan teng yonli uchburchak shaklida mavjud bo’ladi. Benzin uchun gidrostatik bosimning qiyalik burchagi tikroq joylashganligini ko’ramiz, simob uchun esa bu ko’rsatkich botiqroq joylashadi va α ning qiymati kichikligi bilan tasvirlangan, yani o’tkir burchak holatida mavjud bo’lmoqda.



2.4- rasm. Suyuqliklar uchun gidrostatik bosimning epyurasiga oid chizma.

Shunday qilib, suyuqliklarning AB vertical devorga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlarning taqsimlanishini o’rganish asosida, ushbu devorga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlarning qiymatlariga mos ravishda AB devor (to’siq) ning qalinligi qancha bo’lishi kerakligi to’g’risida hisoblash ishlarini amalga oshirish imkoniyati yaratiladi.