1-ta`rif. Agar quyidagi ikki shart bajarilsa, u holda L halqa x element bo`yicha K
halqaning oddiy kengaytmasi deyiladi:
K halqa L halqaning qism halqasi;
L dagi
element
n
(
̅̅̅̅̅)
ko`rinishida ifodalanadi.
L halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy kengaytmasi ekanligi L=K[x]
ko`rinishida belgilanadi.
2-ta`rif. Agar L=K[x] oddiy kengaytmada K halqaning
elementlari
uchun
2
+
n
=0 tenglikdan
=0,
ekanligi kelib chiqsa, u holda L=[x] halqa K halqaning trassendent kengaytmasi
deyiladi.
3-ta`rif. L[x] halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy kengaytmasi bo`lsa, va
x element 2-ta`rifdagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda x element K ga nisbatan L
nuqtaning trassendent elementi deyiladi.
4-ta`rif. K[x] halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy trassendent
kengaytmasi bo`lsa, u holda K[x] halqa K ustida x element bo`yicha tuzilgan
ko`phadlar halqasi deyiladi. K[x] halqaning elementlari K ustida x ning
ko`phadlari yoki K ustida ko`phadlar deyiladi va uning elementlari
2
+
n
(
̅̅̅̅̅ , )
Teorema . K[x] halqa K halqaning x element bo`yicha oddiy transsendent
kengaytmasi bo`lsin. U holda K[x] ning
element uchun
2
+
n
2
+
n
, (
) lar o`rinli bo`lsa,
bo`ladi.
Isboti. Agar
2
+
n
=
2
+
n
(
)
bo`lsa,
(
) (
) (
)
n
=o.
Bundan x element K ga nisbatan transsendent bo`lgani uchun
tenglik o`rinli bo`ladi.
Teorema. Har qanday nol bo`lmagan
kommutativ halqaning
oddiy transsendent kengaytmasi mavjud.
Isboti. L
1
-K ustidagi barcha
(
) elementlar to`plamidan iborat
bo`lsin.
algebra kommutativ halqa bo`ladi.
{
},
{
0,0…
} to`plam
halqadagi yopiq va bo`sh emas. Demak,
algebra
halqaning halqaostisi.
akslantirishda
(
)
akslantirish in`ektiv
akslantirish bo`lishi bilan birga
halqaning asosiy amallarini saqlaydi.
(
)
(
)
(
)
(
)
Demak,
akslantirish
halqani K halqaga izomorf akslantiradi.
halqa bo`yicha K halqaostiga ega bo`lgan va
ga izomorf bo`lgan yangi halqani
tuzishimiz kerak. Buning uchun
to`plamdagi har bir
elementni
element bilan almashtiramiz (ya`ni
ni
(
) bilan almashtiramiz) qolgan
ning elementlarini o`zgartirmaymiz.
(
) deylik.
ni aniqlaymiz.
h(a)=
{
h akslantirish
ni L ga akslantiruvchi in`ektiv akslantirish bo`lib,
.
L to`plamda +,-,
amallarni aniqlaymiz.
(
( )
( )), ( )
-
(
( ))
(
( )
( )) (I)
( )
algebrani qaraylik.
( )
( )
( )
( )
( ) (II)
( )
( )
( )
( )
(II) formulalar
akslantirishning L algebraning
halqaga izomorf akslantirish
ekanligini ko`rsatadi. Bundan kelib chiqadiki, L algebra
halqaga izomorf bo`lgan
kommutativ halqa ekanligi kelib chiqadi. L halqadagi asosiy amallar K halqadagi
mos amallarning davomi bo`ladi. Haqiqatdan ham,
uchun
(
( )
( ) (
) (
)
(
)
(
) (
( )) (
) (
)
(
( )
( )) (
) (
) (
)
(
)
(
)
Demak, K halqa L halqaning halqaostisi ekan.
L ning ixtiyoriy elementini 1,x,x
2
,….. elmentlarning chiziqli kombinatsiyasi
ko`rinishida ifodalash mumkin, chunki
(
)
n
Demak, L=K[x]
X element K ga nisbatan transsendent element bo`ladi.
Haqiqattan ham,
n
=0 tenglik
(
)
elementlar chiziqli erkli bo`lib, bu yerdan
,
. Demak, x
element K ga nisbatan transsendent element bo`lib, L=K[x] esa K halqaning x
elementning bo`yicha transsendent kengaytmasi bo`ladi.
XULOSA
Kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o`rgandim:
1. Algebraik amal tushunchasi;
2. Assotsiativlik va kommutativlik xossalari;
3. Halqa ta`rifi;
4. Kommutativ halqa, birlik elementli halqa va nol halqa;
5. Oddiy transsendent kengaytma mavjudligi;
Kurs ishi yozish uchun ma`lumot yig`ish maqsadida quyidagi ma`lumotlarga ega
bo`ldim:
Transsendent sonlar xossalari
1. Agar t transsendent son bo`lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar
bo`ladi.
2. Agar a-algebraik son, t-transsendent son bo`lsa u holda a+t, a-t, at, a/t, t/a
sonlar ham transsendent son bo`ladi.
3. Agar t-transsendent son, n-butun son bo`lsa, u holda t
n
va
√
transsendent son
bo`ladi.
Kurs ishini yozish jarayonida kommutativ halqaning oddiy transsendent
kengaytmasi mavjudligi haqidagi teorema bilan tanishdim. Teoremaning isbotini
mustaqil o`rganib chiqdim.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. O`zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi. Barkamol avlod
O`zbekiston taraqqiyotining poydevori. T. “sharq”1997 yil
2. Nazarov.R.N “algebra va sonlar nazariyasi” T,O`qituvchi. I q 1993, II q 1995
3. Yunusova D.I va bohqalar “algebra va sonlar nazariyasi” o`quv qo`llanma. T,
ilm ziyo. 2009
4. H.Mahmudov. algebra va sonlar nazariyasidan amaliy mashg`ulotlar.F.2002
5. N.Hojiyev, A.S.Faynleyb. algebra va sonlar nazariyasi. Darslik , T. 2001
6. Kurosh F.G.Oliy algebra kursi. T. O`qituvchi. 1976 yil
Elektron ta`lim resurslari
1.
Elektron jurnal
www.arki.ru
2.
To`loq matnli kutubxona
www.lib.ru
3.
Talaba yoshlar sayti
www.study.uz
4.
Bilim portal
www.ziyonet.uz
Farg`ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo`nalishi
19.01-guruh talabasi X.A. Abduraxmonovaning “Kommutativ halqaning oddiy
transsendent kengaytmasining mavjudligi haqidagi teorema” mavzusida
yozilgan kurs ishiga
TAQRIZ
Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar
ro`yxatidan iborat bo`lib, kurs ishida o`zbek matematiklarini matematikaga qo`shgan
xissalari ko`rsatilgan. O`zbekistonda matematikaga qaratilgan e`tibor, nafaqat, aniq
fanlar, balki ijtimoiy fanlardagi keskin o`zgarishlar to`g`risida fikr yuritilgan.
Dastlab, boshlang`ich tushunchalarga oydinlik kiritilgan, asta sekin har bir
ta`rif va teoremalar isbotlari bilan keltirilgan. Mavzudagi ma`lumotlar mavzu
doirasidan chetlashmagan holda to`plangan va bayon etilgan.
Shuningdek, kommutativ halqaning oddiy transsendent kengaytmasi mavjudligi
haqidagi teorema isboti bilan keltirilgan.
Kurs ishi 25 varaq hajmida yozilgan, unda ma`lumotlar keng tahlili amalga
oshirilgan va 6 nomdagi adabiyotlar va internet saytlari ro`yhati keltirilgan.
Kurs ishidagi ba`zi ma`lumotlar manbasi ko`rsatilmagan.
Ushbu kamchilik kurs ishining mazmuniga ta`sir etmaydi. Talaba yuqorida
ko`rsatilgan kamchiliklarni kelgusi tadqiqot ishlarida takrorlanishiga yo`l qo`ymaydi
deb o`ylayman va ushbu kurs ishini himoyaga tavsiya etish mumkin.
Ilmiy raxbar: dotsent X.O`rinov
Do'stlaringiz bilan baham: |