O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi farg`ona davlat universiteti “Matematika” kafedrasi

1-ta`rif. Agar quyidagi ikki shart bajarilsa, u holda L halqa x element bo`yicha K 

halqaning oddiy kengaytmasi deyiladi: 

                            K  halqa  L halqaning qism halqasi; 

L dagi 

   element 

     

 

   

 

         

 

 

n

   (

 

 

             

̅̅̅̅̅) 

ko`rinishida ifodalanadi. 

L halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy kengaytmasi ekanligi L=K[x] 

ko`rinishida belgilanadi. 

2-ta`rif. Agar  L=K[x] oddiy kengaytmada K halqaning 

  

 

   

 

       

 

 elementlari 

uchun        

 

 

   

 

     

 

 

2

+

      

 

 

n

=0 tenglikdan 

 

 

=0,     

 

 

         

 

    

ekanligi kelib chiqsa, u holda L=[x] halqa K halqaning trassendent kengaytmasi 

deyiladi. 

3-ta`rif. L[x] halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy kengaytmasi bo`lsa, va 

x element 2-ta`rifdagi shartlarni qanoatlantirsa, u holda x element K ga nisbatan L 

nuqtaning trassendent elementi deyiladi. 

---

4-ta`rif. K[x] halqa x element bo`yicha K halqaning oddiy trassendent 

kengaytmasi bo`lsa, u holda K[x] halqa K ustida x element bo`yicha tuzilgan 

ko`phadlar halqasi deyiladi. K[x] halqaning elementlari K ustida x ning 

ko`phadlari yoki K ustida ko`phadlar deyiladi va uning elementlari 

 

 

   

 

     

 

 

2

+

      

 

 

n

     (

 

 

              

̅̅̅̅̅        , ) 

Teorema . K[x] halqa K halqaning x element bo`yicha oddiy transsendent 

kengaytmasi bo`lsin. U holda K[x] ning  

   element uchun 

 

     

 

   

 

     

 

 

2

+

      

 

 

n

 

      

 

    

 

      

 

 

2

+

       

 

 

n

 ,   (

  

 

    

 

   ) lar o`rinli bo`lsa,  

 

    

 

 

bo`ladi. 

Isboti.  Agar  

 

 

   

 

     

 

 

2

+

      

 

 

n

=

  

 

    

 

      

 

 

2

+

       

 

 

n

    (

  

 

    

 

   )     

bo`lsa,  

( 

 

    

 

)   ( 

 

    

 

)        ( 

 

    

 

) 

n

=o. 

Bundan x element K ga nisbatan transsendent bo`lgani uchun   

 

 

    

 

                 

tenglik o`rinli bo`ladi. 

---

Teorema.  Har qanday nol bo`lmagan 

                     kommutativ halqaning 

oddiy transsendent kengaytmasi mavjud. 

Isboti.  L

1

-K ustidagi barcha   

    ( 

 

   

 

   

 

    )   elementlar to`plamidan iborat 

bo`lsin. 

 

 

    

 

               algebra kommutativ halqa bo`ladi. 

 

 

 { 

 

 

 

  

 

   },      

 

 

 

 { 

 

 0,0…

}   to`plam 

 

 

 halqadagi yopiq va bo`sh emas. Demak,  

 

 

 

    

 

               algebra  

 

 halqaning halqaostisi. 

 

 

   

 

     akslantirishda  

 

( 

 

 

 

)    

 

   

  

 

       

 

 akslantirish in`ektiv 

akslantirish bo`lishi bilan birga 

 

 

halqaning asosiy amallarini saqlaydi. 

  

 

   

 

      

 

 

( 

 

 

 

   

 

 

 

)    

 

   

 

  

 

 

(  

 

 

 

)      

 

  

 

 

( 

 

 

 

   

 

 

 

)    

 

   

 

  

 

 

(     

 

)      

---

Demak, 

 

 

 akslantirish 

 

 

 halqani K halqaga izomorf akslantiradi. 

 

 

  halqa bo`yicha K halqaostiga ega bo`lgan va 

 

 

 ga izomorf bo`lgan yangi halqani 

tuzishimiz kerak. Buning uchun 

 

 

 to`plamdagi har bir 

 

 

 

 

   

 

elementni 

 

 

    

element bilan almashtiramiz (ya`ni 

 

 

 

 

 ni 

 

 

(

 

 

 

 

) bilan almashtiramiz) qolgan 

 

 

ning elementlarini o`zgartirmaymiz. 

(

     

 

  

 

)     deylik. 

    

 

    ni aniqlaymiz. 

h(a)=

{

 

 

            

 

              

 

  

 

  

h akslantirish 

 

 

 ni L ga akslantiruvchi in`ektiv akslantirish bo`lib, 

 

 

   . 

L to`plamda +,-,

     amallarni aniqlaymiz. 

         ( 

  

( )    

  

( )),   (      ) 

-

     (  

 

( )) 

         ( 

  

( )    

  

( ))                                                        (I) 

     ( )  

                     algebrani qaraylik. 

---

 

  

(     )    

  

( )    

  

( )  

 

  

(  )    

  

( )                                                                       (II) 

 

  

(     )    

  

( )    

  

( )  

 

  

( )      

(II) formulalar 

 

  

 akslantirishning L algebraning  

 

 

 halqaga izomorf akslantirish 

ekanligini ko`rsatadi. Bundan kelib chiqadiki, L algebra 

 

 

 halqaga izomorf bo`lgan 

kommutativ halqa ekanligi kelib chiqadi. L halqadagi asosiy amallar K halqadagi 

mos amallarning davomi bo`ladi. Haqiqatdan ham, 

          uchun  

         ( 

  

( )    

  

( )    (  

 

    

 

)    (  

 

)     

 

   

 

(  

 

)  

 

 

(  

 

)                (  

  

( ))    (   

 

)     (  

 

)       

         ( 

  

( )    

  

( ))    (  

 

    

 

)    (  

 

)    (  

 

)    

 

(  

 

)  

 

 

(  

 

)       

Demak, K halqa L halqaning halqaostisi ekan. 

L ning ixtiyoriy elementini 1,x,x

2

,….. elmentlarning chiziqli kombinatsiyasi 

ko`rinishida ifodalash mumkin, chunki  

 ( 

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

)    

 

   

 

 

 

       

 

 

 

   

 

   

 

         

 

 

n

   

---

Demak, L=K[x] 

X element K ga nisbatan transsendent element bo`ladi. 

Haqiqattan ham, 

 

 

   

 

         

 

 

n

 =0 tenglik 

 

  

( 

 

   

 

         

 

 

 

)    

 

   

 

 

 

       

 

 

 

       

 

   

 

       

 

   

elementlar chiziqli erkli bo`lib, bu yerdan  

 

 

   ,  

 

      

 

   . Demak, x 

element K ga nisbatan transsendent element bo`lib, L=K[x] esa K halqaning x 

elementning bo`yicha transsendent kengaytmasi bo`ladi. 

 

 

 

 

 

 

 

---

XULOSA 

 

Kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o`rgandim: 

1.  Algebraik amal tushunchasi; 

2.  Assotsiativlik va kommutativlik xossalari; 

3.  Halqa ta`rifi; 

4.  Kommutativ halqa, birlik elementli halqa va nol halqa; 

5.  Oddiy transsendent kengaytma mavjudligi; 

 

Kurs ishi yozish uchun ma`lumot yig`ish maqsadida quyidagi ma`lumotlarga ega 

bo`ldim: 

Transsendent sonlar xossalari 

1.  Agar t transsendent son bo`lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar 

bo`ladi. 

2.  Agar a-algebraik son, t-transsendent son bo`lsa u holda a+t,  a-t, at, a/t, t/a 

sonlar ham transsendent son bo`ladi. 

3.  Agar t-transsendent son, n-butun son bo`lsa, u holda  t

n

 va

√ 

 

 transsendent son 

bo`ladi. 

---

  

   Kurs ishini yozish jarayonida kommutativ halqaning  oddiy transsendent 

kengaytmasi mavjudligi haqidagi teorema bilan tanishdim. Teoremaning isbotini 

mustaqil o`rganib chiqdim.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

Foydalanilgan adabiyotlar 

1.  O`zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi. Barkamol avlod 

O`zbekiston taraqqiyotining poydevori. T. “sharq”1997 yil 

2.  Nazarov.R.N “algebra va sonlar nazariyasi” T,O`qituvchi. I q  1993, II q 1995 

3.  Yunusova D.I va bohqalar “algebra va sonlar nazariyasi” o`quv qo`llanma. T, 

ilm ziyo. 2009 

4.  H.Mahmudov. algebra va sonlar nazariyasidan amaliy mashg`ulotlar.F.2002 

5.  N.Hojiyev, A.S.Faynleyb. algebra va sonlar  nazariyasi. Darslik , T. 2001 

6.  Kurosh F.G.Oliy algebra kursi. T. O`qituvchi. 1976 yil 

Elektron ta`lim resurslari 

1. 

Elektron jurnal                                                                

www.arki.ru

 

2. 

To`loq matnli kutubxona                                               

www.lib.ru

 

3. 

Talaba yoshlar sayti                                                        

www.study.uz

 

4. 

Bilim portal                                                                       

www.ziyonet.uz

 

 

 

---

Farg`ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo`nalishi 

19.01-guruh talabasi X.A. Abduraxmonovaning  “Kommutativ halqaning oddiy 

transsendent kengaytmasining mavjudligi haqidagi teorema” mavzusida 

yozilgan kurs ishiga 

TAQRIZ 

Ushbu  kurs  ishi  kirish,  asosiy  qism,  xulosa  va  foydalanilgan  adabiyotlar 

ro`yxatidan iborat bo`lib, kurs ishida o`zbek matematiklarini matematikaga qo`shgan 

xissalari  ko`rsatilgan.  O`zbekistonda  matematikaga  qaratilgan  e`tibor,  nafaqat,  aniq 

fanlar, balki ijtimoiy  fanlardagi keskin o`zgarishlar to`g`risida fikr yuritilgan. 

Dastlab,  boshlang`ich  tushunchalarga  oydinlik  kiritilgan,  asta  sekin  har  bir 

ta`rif  va  teoremalar  isbotlari  bilan  keltirilgan.  Mavzudagi    ma`lumotlar  mavzu 

doirasidan chetlashmagan holda to`plangan va bayon etilgan. 

Shuningdek,  kommutativ  halqaning  oddiy  transsendent  kengaytmasi  mavjudligi 

haqidagi teorema isboti bilan keltirilgan. 

Kurs  ishi  25  varaq  hajmida  yozilgan,  unda  ma`lumotlar  keng  tahlili  amalga 

oshirilgan va 6 nomdagi adabiyotlar va internet saytlari ro`yhati keltirilgan.  

Kurs ishidagi ba`zi ma`lumotlar manbasi ko`rsatilmagan. 

---

Ushbu kamchilik kurs ishining mazmuniga ta`sir etmaydi. Talaba yuqorida 

ko`rsatilgan kamchiliklarni kelgusi tadqiqot ishlarida takrorlanishiga yo`l qo`ymaydi 

deb o`ylayman va ushbu kurs ishini himoyaga tavsiya etish mumkin. 

 

 

 

 

 

 

Ilmiy raxbar:                                                       dotsent X.O`rinov