O’zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta’lim vazirligi farg`ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

1.2-§. Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar sistemasini taqqoslamalar usuli bilan yechish.
Endi ikki noma’lumli tengsizliklar sistemasini qaraymiz. Bunday sistemalarning umumiy ko’rinishi

dan iborat (tengsizlik belgilari har xil bo’lishi mumkin). Bu yerdagi har bir tengsizlik tekislikda qandaydir sohani tasvirlaydi. Berilgan sistemaning yechimlar to’plami shu sohalarning umumiy qismidan iborat bo’ladi(bo’sh to’plam bo’lishi ham mumkin). Masalan, ushbu

sistemani qaraymiz. U berilgan tengsizliklar kon’yunksiyasidan iborat: . Osongina ko’rish mumkinki, bu sistemaning grafigi markazi koordinata boshida va radiusi 6 ga teng bo’lgan doira bilan y=2 to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashgan tekislikning umumiy qismidan iborat. Yuqoridagi (3) sistemaning xususiy holi bo’lgan ikki o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasini qaraymiz.

Bu sistemada va to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel emas deb olamiz. Faraz qilaylik, bu sistemaning har bir tengsizligini y ka nisbatan yechib,

sistemani hosil qilgan bo’laylik. x o’zgaruvchining biror qiymatida bu sistema tengsizliklari o’rinli bo’lishi uchun
yoki bajarilishi zarur va yetarli(tranzitivlik qonuniga binoan).
Demak, p>k bo’lganda, va pbo’lganda, bo’lib sistemaning umumiy yechimi esa quyidagidan iborat.
, px+qagar p>k bo’lsa va
px+qbo’lsa.
Ravshanki, berilgan sistemaning grafigi tekislikda y=px+q to’g’ri chiziqdan yuqoridagi va y=kx+b to’g’ri chiziqdan pastdagi tekislik nuqtalari to’plamidan iborat.
Eslatma. (4) tengsizlikda tengsizlik belgilari turlicha yoki bir xil bo’lishi mumkin. Bundan tashqari, undagi va to’g’ri chiziqlar parallel ham bo’lishi mumkin. Bu hollarni o’rganishni o’quvchiga havola qilamiz.
1.3-§.Ikki o’zgaruvchili tenglamalar sistemasi
Qo’ylar va tovuqlar haqidagi masalani quyidagicha ham yechish mumkin: qo’ylar sonini bilan tovuqlar sonini bilan belgilaymiz. U holda masala shartiga ko’ra, tenglamalar tuziladi.Bularning har biri ikki joyli predikatlar bo’lib, ularning chinlik to’plamlari cheksizdir. Biz shunday va larning qiymatlarini topishimiz kerakki, ular tenglamalarning har ikkalasini ham qanoatlantirsin, ya’ni predikatlarning kon’yunksiyasi ni topish kerak. Buni maktabda
(1)
ko’rinishda yoziladi va uni tenglamalarning sistemasi deyiladi. Bunday tenglamalar sistemasining umumiy ko’rinishi
(2)
dan iborat bo’lib, u ikki noma’lum (o’zgaruvchanli) chiziqli tenglamalar sistemasi deb ataladi. Biz quyida shunga ishonch hosil qilamizki, 1–punktda bir noma’lum chiziqli tenglama yechimi uchun aytilgan uchta holatga o’xshash hollar bu sistema uchun ham o’rinli bo’ladi.