O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

II BOB. ELEKTR VA MAGNIT MAYDONLAR KATTALIKLARI.
2.1. Elektromagnit maydon potensiallari
Bizga ma’lumki fizikaviy nuqtai nazardan maydon muayyan nuqtaga joylashtirilgan zarrachaga ta’sir qiluvchi kuch bilan xarakterlanadi.
Masalan: elektrostatik maydon E(r) - Elektr maydon kuchlanganligi bilan aniqlanadi. Xuddi shuningdek bu maydonni uning skalyar potensiali (r) - elektr maydonning potensiali orqali ham xarakterlash mumkin. Endi yuqoridagi fikrga binoan ushbu elektrostatik maydonga kiritilgan kuch ifoda bilan aniqlanishini eslaymiz. Xuddi shuningdek ushbu zaryadning bu maydondagi potensial energiyasi ; Endi ushbu kattaliklar orasidagi bog’lanishni topish qiyin emas. Buning uchun klassik mexanikaning bizga ma’lum bo’lgan usulidan foydalanamiz. Ya’ni, tashqi maydondagi jismning Lagranj funksiyasidan foydalanamiz.
(2.1.1)
(2.1.2)
Eyler - Lagranj tenglamasi.

; (2.1.3)

(2.1.4)
(1.1.3) va (1.1.4) tenglamalarni taqqoslash shuni ko’rsatadiki, zarrachalarning mos o’qdagi proyeksiyalari potensial energiyaning shu o’q bo’yicha olingan xususiy hosilaning teskari ishora bilan olinganiga teng. Haqiqatan ham harakat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin. Demak, ixtiyoriy maydonda harakatlanuvchi jismga ta’sir qiluvchi kuchni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
(2.1.6)

1. 
   Ta’rif: U skalyar maydonning potentsiali deb quyidagi munosabat bilan aniqlanuvchi kattalikka aytiladi.
   

(1.1.7)
(1.1.7) munosabat ixtiyoriy statsionar maydonda harakatlanayotgan jism potensial energiyasining o’zgarishi qarma-qarshi ishora bilan olingan ishga tengligini bildiradi.
dA>0 da dU<0
dA<0 da dU>0 bo’ladi.

2. 
   Ta’rif. U-skalyar maydonning gradiyenti deb quyidagi munosabat bilan aniqlanuvchi kattalikka aytiladi.
   

(2.1.8)
Natija: Agar bizga ixtiyoriy U(x,y,z) skalyar maydon berilgan bo’lsa, uning gradiyenti (2.1.8) munosabat bilan aniqlanuvchi vektor maydonni hosil qiladi. Skalyar va vektor maydonlar ustida bajariladigan differensial amallar bilan tanishishni boshlagan edik. Ularning muhimligi, shundan iboratki, ixtiyoriy maydonni uning skalyar va vektor xarakteristikalari bo’yicha o’rganish imkoniyatini beradi. Masalan: elektr maydonini,  -elektr maydon potensiali (skalyar xarakteristikasi); E-elektr maydon kuchlanganligi (vektor xarakteristikasi).
Ixtiyoriy a(r)=a(x,y,z) vektor maydon ustida bajariladigan 1-tartibli differensial amallar bilan tanishib chiqamiz. Bu munosabatning ma’nosi shundan iboratki: a - vektor maydon
(2.1.9)
radius-vektorga ega bo’lgan nuqtada o’zining yo’nalishi va son qiymati bilan aniqlanadi. Masalan, gravitatsion maydon kuchlanganligi:
(2.1.10)
Oddiylik uchun gravitatsion kuchlanganligi taqsimotini XY tekislikda tasvirlaylik.

A(-c, -c)
B(c, c)
Ma’lumki, A va B nuqtalar koordinata boshiga nisbatan bir xil uzoqlikda joylashgan. Demak, bu nuqtalardagi gravitatsion maydon kuchlanganligining moduli bir-biriga teng, ammo gravitatsion maydon kuchlanganliklari bir-biriga teng emas.

Chunki
Haqiqatdan ham (1.1.10) formulaga ko’ra

Bu yerda


B nuqtadagi gravitatsion maydon kuchlanganligini oxirgi natijadan foydalanib topish mumkin. Buning uchun


Demak, B nuqtadagi gravitatsion maydon kuchlanganligining moduli A nuqtadagi gravitatsion maydon kuchlanganligiga teng bo’lib, yo’nalishi esa unga qarama-qarshi. Haqiqatdan ham A va B nuqtalar koordinata boshiga tomon tortishishlarini ko’rsatib turibdi.
Endi vektor maydon ustida bajariladigan birinchi tartibli differensial amallardan biri rotor operatsiyasi bilan tanishib chiqamiz Rotor so’zi ingilizcha -rotaion -aylanish so’zidan olingan bo’lib, u o’zbek tilida «uyurma» deb tarjima qilinishi mumkin .
( 2.1.11 )
Natija: Demak, har qanday vektor maydonning uyurmasi 0 dan farqli bo’lsa, u yangi vektor maydonini hosil qiladi.
Maydondagi zaryad maydon tomonidan ta’sirga uchraydi va shu bilan o’zi ham maydonga ta’sir qilib uni o’zgartiradi. Agar zaryad q katta bo’lmasa aks ta’sirni hisobga olmasa bo’ladi. Bizga ma’lum har qanday sistemaning harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishga yozish mumkin:
(2.1.12)
Bizda
(2.1.13)
Bu yerda Lagranj funksiyasidan vektor yo’nalishlarida olingan hosila quyidagicha:

(2.1.14)
Logranj funksiyasi ifodasidan ko’rinadiki elektromagnit maydon zaryadga ko’rsatayotgan ta’sir uning zaryadi q, uning tezlik vektori, elektr maydon skalyar potensiali hamda vektor potensialiga bog’liq. Endi Logranj funksiyasidan foydalanib harakat tenglamasini keltirib chiqaramiz.



Gradiyentini hisoblaymiz

Endi topilgan hosilalarni o’z o’rniga qo’yamiz.

Demak, lagranj funksiyasidan olingan gradiyentni quyidagicha yozish mumkin:
(2.1.15)
1-hadni o’zgartiramiz.

Demak, Logranj tenglamasining o’ng tomoni, ya’ni elektromagnit maydonda harakatlanayotgan zarrachaga ta’sir etayotgan kuchni quyidagicha yozish mumkin.

Oxirgi had zarrachaga ta’sir qiluvchi Lorens kuchi

N a t i j a: Elektr maydon kuchlanganligi doimiy elektromagnit maydon uchun uning skalyar potensialidan olingan gradiyentga teng.
Endi Logranj tenglamasining chap tomonini hisoblaymiz. Buning uchun elektromagnit maydondagi zaryadning impulsini topamiz.

bo’lgani uchun

Elektromagnit maydondagi zaryadning impulsi uning odatdagi impulsidan ga farq qilar ekan. Endi zaryadning harakat tezlanishini olish qiyin emas.


(1.1.16)
N a t i j a: Shunday qilib bizga elektromagnit maydonning to’rt o’lchovli potensiali ma’lum bo’lsa, ular orqali E elektr va H magnit maydon kuchlanganliklarini bir qiymatli aniqlash mumkin. So’ngra esa bu maydonda harakatlanayotgan zarrachaning harakat tenglamasini topish mumkin.