O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

1.2. Tenzor miqdorlarning inversiyasi
Quyidagi qonuniyat bo’yicha o’zgaradigan miqdorga Levi –Chivita simvoli deyiladi:
_{ } (1.2.24)
Masalan, _{ } ifodani _{ } ko’rinishiga keltirish uchun 3 va 2 ni o’rinlarini bir marta almashtirish kifoya, ya’ni toq shuning uchun _{ }bo’ladi. _{ }ning qiymati esa 1 ga teng, chunki _{ }
Almashtirishlar soni 2 ga teng. Uch o’lchovli fazoda Levi-Chiviti simvolining 27 ta elementi bo’lib, shulardan uchtasi 1 ga teng:

Boshqa uchtasi

-1 ga teng, qolgan barchasi nolga teng bo’ladi.
Indekslarni siklik almashtirilganda Levi-chivita simvolining qiymati o’zgarmaydi:

Livi-Chivita simvoli yordamida ko’p amallarni qisqacha yozish imkoniyati paydo bo’ladi. Masalan, o’ng Dekart kordinatalar sistemasida basis vektorlari uchun

Tenglikning to’g’riligini tekshirish qiyin emas. Xususan,

25 ikki tomonini ort _{ } ga skalyar ko’paytirsak

Bundan Levi-Chivita simvolini uch o’lchovli fazoda aralash ko’paytma ko’rinishida berilishi mumkinligi kelib chiqadi:
_{ } (1.2.25)
Livi-Chivita simvoli Kroner belgisi orqali ham bog’langan
_{ }. (1.2.26)
Misol. Quyidagi tenglik isbot qilinsin.
_{ }. (1.2.27)
_{ } O’ng tomondagi determinantning matritsasini A bilan belgilaylik. Ya’ni _{ } belgilashlar kiritaylik.
Matrisani matritsaga ko’paytirish qoyidasidan
B_{ },
Ekanligi kelib chiqadi. Xaqiqatan ham, masalan, _{ }element uchun
_{ }=_{ }
Ekanligi kelib chiqadi. Qolgan elementlar uchun shu kabi tengliklar o’rinli bo’ladi.
det_{ }C va det_{ }=detBdet_{ } tengliklardan 27 ning o’rinliligi kelib chiqadi.
Misol_{ } tenglikning o’rinliligi isbot qilinsin.
Oldingimisol natijasidan foydalanamiz. L indeksni k indeks bilan almashtiramiz:
_{ }.
Determinantni yoyib _{ }. Ekanligini inobatga olsak,

Misol. _{ } ikkilangan yig’indini hisoblang.
_{   } tenglikdan foydalanamiz. Bu tenglikda indeks m_{ } ni almashtirsak,
_{ },
Bo’ladi.Uchlangan yig’indi uchun esa _{ } ekanligini ko’rish qiyin emas.⊲
Levi-Chivita tenzori invariant tenzor hisoblanadi:

Haqiqattan ham,
 =_{ }.
Bu tenglikdan, agar _{   } lar o’ng bazisni tashkil qilsa,
_{ }=_{ } bo’lishi kelib chiqadi. Aralash ko’paytma quyidagixossalarini:
Agalash ko’paytmada ikki vector o’rni almashganda ishorasi o’zgaradi;
Aralash ko’paytmaning ixtiyoriy ikki vektori mos kelsa u nolga teng bo’ladi;
Inobatga olinsa _{ }=_{ } kelib chiqadi.
Shunday qilib, Levi- Chivita simvoli invariant tenzor ekan.
Vektor kordinatalarining inversiya almashishi Inversiya jarayonida koordinata sistemasining ortlarining yo’nalishi teskarisiga almashadi:
_{ } .
Inversiyada koordinatalarni almashtirish matritsasi

ko’rinishda bo’ladi. Inversiyada _{ } o’ng sistema chap sistema bilan almashadi:
(_{ })=1, => (_{ })= -1.
Bunday almashtirishning o’ziga xosligini quyidagi misolda izohlaymiz. Uchta _{ } , _{ } , _{ } vektorlarni qaraylik. _{ } vector ko’paytmani topaylik:
_{ } =3_{ },
ya’ni _{ }. Shuning uchun _{ } bo’ladi. Koordinatalar sistemasini inversiyaga almashtiraylik:
_{ } , _{ } , _{ } .
_{ } vektor ko’paytmani topaylik:
_{ } = 3_{ } ,
ya’ni _{   } va _{ } Boshlang’ich sistemada vektorlar teng bo’lyapti. Inversiyadan so’ng bu tenglik o’rinli bo’lmayapti.
Demak, bundan ko’rinadiki, _{ } va _{ } vektorlar inversiyadan so’ng o’zlarini har xil tutar ekanlar.
Agar koordinatalar sistemasining inversiyasida vector o’z yo’nalishini o’zgartirmasa (koordinatalari ishorasini o’zgarishini),bunday vektorga qutub vector deyiladi. Agar inversiyada vector o’z yo’nalishini teskarisiga almashtirsa (kordinatalari o’zgarmasa),aksial (psevdovektor) deyiladi.
Bizning misolda _{ } vektorlar qutub vektorlar. _{ } aksial vektordir. Fizikada qutb vektorlarga siljish vektori _{ },tezlik vektori _{ } ,tezlanish vektori _{ } va _{ }Kuch vector va h.k.lar misol bola oladi. Ikki qutb vektorning vector ko’paytmasi aksial vektor bo’lgani uchun impuls _{ } va kuch _{ } momentlari aksil vektordan iborat bo’ladi.
Tenzor miqdorlarning inversiyada almashishi ortagonal almashtirish matritsasi uchun det_{ } bo’lsa, birinchi tur almashtirish deyilishi aytilgan edi. det_{ } bo’lganda ikkinchi tur almashtirish deyilib, bunday almashtirishlar sistemani burish va inversiyalash jarayonida ro’y beradi.
Psevdovektor tushunchasi kabi psevdotenzor tushunchasi kiritiladi.