O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim va

2.1.1- Misol. funksiyaning istalgan qo‘zg‘almas nuqtalarini toping.
Yechilishi. g uchun qo’zg’almas p nuqta shunday xususiyatga ega
bu ekanligini bildiradi.
ning grafigi ning grafigini kesib o'tganda uchun qo’zg’almas nuqta hosil bo'ladi, shuning uchun ikkita qo’zg’almas nuqtaga ega, biri , ikkinchisi esa . Ular quyidagi 2.1.1-rasmda ko'rsatilgan.
2.1.1-rasm.

Quyidagi teorema qo'zg'almas nuqtaning mavjudligi va yagonaligi uchun etarli shartlarni beradi.
2.1.3 teorema. (1) Agar barcha uchun va bo'lsa, ning [a, b] da kamida bitta qo'zg'almas nuqtasi bor.
Agar da mavjud bo'lsa va ,(k < 1) tengsizkni qanoatlantiruvch barcha uchun da aynan bitta qo'zg'almas nuqta mavjud. (2..1.2-rasmga qarang.)

2.1.1.Isbot.Agar yoki bo'lsa, u holda ning chegarlarida qo’zg’almas nuqtaga ega. Agar yo'q bo'lsa, va . funksiya da uzluksiz va
va .
Oraliq qiymat haqidagi teoremaga ko’ra bo’ladi. Bu soni uchun qo’zg’almas nuqtadir, chunki
bundan
ekanligini bildiradi.
(2) Faraz qilaylik, bunga qo’shimcha, va da va nuqtalar qo’zg’almas nuqtalar. Agar , o’rta qiymat haqidagi teoremaga ko’ra [a,b] oraliqda nuqta topiladiki va lar uchun bo’ladi.
Shunday qilib,

ziddiyatga duch keldik. Bu ziddiyat berilgan farazimizdan kelib chiqdi. Demak, va dagi qo’zg’almas nuqta yagonadir.
2.2Qisuvchi akslantirishlar prinsipining integral tenglamalarga tadbiqi.
Volterra tenglamasi.
Volterra tipidagi
(2.2.1)
tenglamanin qaraymiz.Agar y>x da desak (2.1.1) Volterra tenglamasi
ko‘rinishdagi ikkinchi tur fredholm tenglamasiga keladi.Biroq Fredholm integral tenglamasi holida biz parametrnin g kichik qiymatlari bilan chegaralanishga majburmiz. Volterra tenglamasi holida qisuvchi akslantirishlar prinsipi ni ning barcha qiymatlarida qo ‘llash mumkin .Aniqrog‘i, qisuvchi akslantirishlar prinsipining quydagi umumlashmasi o‘rinli.
2.2.1Teorema. to‘la metrik fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi uzluksiz akslantirish uchun biror da qisuvchi akslantirish bo‘lsin .U holda tenglama yagona yechimga ega bo ‘ladi.