Основные понятия функции двух переменных

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
в замкнутой области

1. 
   Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.
   
2. 
   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.
   
3. 
   Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .
   

Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной линиями: .
Решение. 1) Строим замкнутую область , ограниченную линиями: .

 , , , .
Таким образом, получаем четыре стационарные точки, ни одна из которых не принадлежит области .
3) Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков и .
а) на границу : .
Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .
 .
Далее .

б) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .
 и .
Далее .

в) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .
 .
Далее .

г) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной :
.
Находим критические точки: .
 . Значит, на границе критических точек нет.


4) Находим значения функции в вершинах области: . Выше были найдены значения функции и , что соответствует значениям функции в точках и . Поэтому находим значения функции в точках и :
;
.
Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:
; .


4. 
   ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ