Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 2. Диофантовы уравнения и эллиптические кривые
Пифагоровы треугольники. Рациональные точки окружности. Великая теорема Ферма. Сведение случаев n =3 и n =4 к поиску рациональных точек на эллиптической кривой и её решение. Простейшие свойства многочленов от одной переменной.
Эллиптически кривые над R. Сложение точек: геометрическая форма; формулы сложения точек. Понятие группы и абелевой группы. Группа E(R), группа E(Q). Эллиптическая кривая над простым полем. Группа E(F_p). Примеры.
Маркировка единичных сообщений точками эллиптической кривой. Демаркировка. Шифровка и дешифровка. Структура группы точек, подходящая для криптографии. Аналог системы Диффи-Хеллмана.
Определение квадратичного характера. Свойства. Об извлечении квадратных корней в конечном поле. Применение к подсчёту числа точек эллиптической кривой. Пример. Теорема Хассе-Вейля. След Фробениуса. Суперсингулярные кривые.
Проективная плоскость. Однородные координаты. Вложение аффинной плоскости в проективную. Бесконечно удалённая прямая. Однородные многочлены. Нули однородных многочленов. Проективное замыкание аффинной кривой. Бесконечно удалённые точки кривых. Аффинная часть кривой. Примеры эллиптических кривых.
Тема 3. Матрицы и группы
Матрицы над кольцом. Операции над матрицами. Алгебра квадратных матриц. Примеры. Обратимые и обратные матрицы. Определитель матрицы 2-го порядка. Свойства определителя. Вычисление обратной матрицы над кольцом. Матричная форма алгоритма Евклида. Матричные криптосистемы. Задача криптоанализа для простейших аффинных криптосистем.
Определение группы и абелевой группы. Примеры. Понятие подгруппы. Примеры. Циклические группы. Показатель и порядок элемента группы. Порядок циклической подгруппы, порождённой элементом. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Второе доказательство теоремы Эйлера. Мультипликативные матричные криптосистемы.
Тема 4. Коды, векторные пространства и линейные отображения
Идея кодирования. Множество . Понятие векторного пространства. Вес Хэмминга. Понятие нормы. Схема кодирования. Понятие линейного отображения. Линейный код. Понятие подпространства. Линейные комбинации. Линейная независимость. Понятие базиса и размерности. Порождающая и проверочная матрица линейного кода. Общая связь линейных преобразований с матрицами. Скалярное произведение. Ортогональность. Дуальные коды. Применение к проверочной и порождающей матрице. Пример: тернарный код Хэмминга. Проективные коды.