Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 5. Многочлены, комплексные числа, кватернионы, конечные поля
Обзор свойств многочленов над произвольным полем. Вычисления в кольце F_p[X]. Сравнения многочленов. Классы вычетов. Кольцо классов вычетов. Вложение поля коэффициентов в факторкольцо. Кольцо классов вычетов как алгебра над полем. Базис алгебры. Ранг алгебры. Вычисления с классами. Обратные по модулю многочлена. Применение алгоритма Евклида для вычисления обратных по модулю. Кольцо многочленов по модулю неприводимого многочлена есть поле.
Поле C как факторкольцо R[X]/(X ² + 1). Мнимая единица. Каноническая запись комплексных чисел. Сопряжённое. Деление комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Представление комплексных чисел матрицами. Присоединение корней. Понятие алгебраического замыкания. Решение квадратных уравнений в C. Корни из единицы. Формулировка основной теоремы алгебры. Понятие алгебраически замкнутого поля и алгебраического замыкания.
Кольцо Z[i]. Норма. Делимость. Единицы. Деление с остатком. НОД. Алгоритм Евклида. Простые элементы в Z[i]. Основная теорема арифметики. Теорема Вильсона. Решение задачи о представлении простых чисел как суммы квадратов. Описание простых элементов в Z[i]. Разложение простых чисел в Z[i]. Отыскание пифагоровых треугольников с помощью целых гауссовых чисел.
Одно диофантово уравнение. Кольцо Z[]. Норма. Делимость. Единицы. Деление с остатком. НОД. Алгоритм Евклида. Простые элементы. Основная теорема арифметики. Решение исходного диофантова уравнения. Описание простых в Z[]. Разложение простых чисел в Z[].
Кольцо . Норма. Делимость. Единицы. Неоднозначность разложения на множители. Идеальные числа Куммера. Общее понятие идеала кольца. Простые идеалы. Главные идеалы. Примеры. Конечно порождённые идеалы. Операции над идеалами. Теорема Дедекинда в . Путь в криптографию.
Кватернионы. Операции над кватернионами. Норма кватерниона. Деление кватернионов. Тело H. Общее понятие тела. Вложение R и C в H. Вложение R³ в H. Представление кватернионов матрицами. Ещё о вложении C в H. Октонионы. Операции над октонионами. Свойства операций. Норма октониона. Единственность комплексной структуры в размерностях 1, 2, 4, 8.
Факторкольцо кольца многочленов F_p[X] по неприводимому многочлену есть конечное поле. Характеристика конечного поля. Простое подполе. Степень расширения. Число элементов. Примеры. Примитивный корень поля. Система обмена ключами.

Трудоёмкость (з.е. / часы)