Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Наибольший общий делитель целых чисел. Сравнения вида . Системы сравнений. Символ Лежандра. Сравнения вида .

Тема 2. ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЕВКЛИДОВЫХ КОЛЬЦАХ

Евклидовы кольца. Наибольший общий делитель. Разложение на множители.

Тема 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Представление алгебраических чисел. Минимальный многочлен алгебраического числа.

Тема 4. НОРМЫ, СЛЕДЫ, ДИСКРИМИНАНТЫ

След и норма в числовом поле. Дискриминант набора чисел в числовом поле. Целый базис и дискриминант числового поля.

Тема 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ

Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в алгебраическом числовом поле. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в квадратичном поле.

Тема 6. ГРУППА ЕДИНИЦ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ

Разложение рациональных и иррациональных чисел в цепные дроби. Фундаментальная единица вещественного квадратичного поля. Группа единиц мнимого квадратичного поля.

Тема 7. РЕДУКЦИЯ И УМНОЖЕНИЕ ИДЕАЛОВ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ

Идеалы квадратичного поля. Редукция идеалов мнимого квадратичного поля. Умножение идеалов.

Тема 8. ЧИСЛО КЛАССОВ

Оценка числа классов числового поля. Число классов квадратичного поля.

Тема 9. КРИПТОГРАФИЯ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ

Криптосистема Бухмана-Вильямса. Криптосистема Вильямса.

Тематика практических занятий

Тема 1. Нахождение наибольшего общего делителя целых чисел. Решение сравнений первой степени, систем сравнений и квадратичных сравнений. Нахождение символа Лежандра.
Тема 2. Элементарные вычисления в евклидовых кольцах. Отыскание наибольшего общего делителя евклидовых чисел. Разложение евклидовых чисел на множители.
Тема 3. Проверка чисел на алгебраичность. Построение алгебраических чисел. Вычисление минимального многочлена алгебраического числа
Тема 4. Вычисление следов и норм в числовом поле. Вычисление дискриминанта набора чисел числового поля. Нахождение целого базиса и дискриминанта числового поля.
Тема 5. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в алгебраическом числовом поле. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в квадратичном поле.
Тема 6. Разложение рациональных и иррациональных чисел в цепные дроби. Вычисление фундаментальных единиц вещественного квадратичного поля. Вычисление группы единиц мнимого квадратичного поля.