O’quv predmetining nomi: Algebra O’quv mаshg’ulоtidа tа’lim tехnоlоgiyasi mоdеli

Funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma va normal tenglamalari

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega, M(x₀;f(x₀)) funksiya grafigiga tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.

Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x₀;f(x₀)) nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x₀)= kx₀+b tenglik o‘rinli. Bundan b=f(x₀)-kx₀ ekanligini topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+ f(x₀)- kx₀ yoki y= f(x₀)+k(x- x₀) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x₀ nuqtadagi qiymatiga tengligini e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y= f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) (1)
Ma’lumki, agar k_urinma0 bo‘lsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari perpendikulyarlik sharti k_normalk_urinma=-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini
y= f(x₀)- (x-x₀) (2)
keltirib chiqarish mumkin.
1-misol. Abstsissasi x=1 bo‘lgan nuqtada y=1/x giperbolaga o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalarini tuzing.
Yechish. Bu misolda x₀=1, f(x₀)=1, f’(x)=- , f’(1)=-1. Bu qiymatlarni (1) formulaga qo‘yib urinma tenglamasini hosil qilamiz: y=1-(x-1), ya’ni y=2-x;
(2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y=1+(x-1), ya’ni y=x.
2-misol. y=x² parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqta y=x² parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi. Faraz qilaylik x=x₀ nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x₀)=x₀², f’(x)=2x, f’(x₀)=2x₀. (1) formuladan foydalansak y= x₀²+2x₀(x-x₀) ya’ni
y= 2x₀x- x₀² (3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -4 qiymatlarini qo‘yib x₀ ga nisbatan -4=- x₀² tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x₀=2, x₀=-2 bo‘lishini topamiz.
Agar x₀=2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y=4x-4; agar x₀=-2 bo‘lsa, y=-4x-4 bo‘ladi. Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y=4x-4, y=-4x-4 urinma tenglamasini hosil qildik.
3-misol. parabolaning nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasi topilsin.
Yechish. Avval urinmaning burchak koeffitsientini topamiz. Buning uchun funksiyadan hosila olamiz:

(1) formulaga asosan nuqtada urinmaning burchak koeffitsienti

(2) tenglamaga muvofiq funksiya grafigiga nuqtada o’tkazilgan urinma tenglamasi , ya’ni bo’ladi (1-chizma).



. 1-chizma
6 – Ilova

1. 
   Funksiyaning berilgan nuqtadagi urinma tenglamasini keltirib chiqaring
   
2. 
   Funksiyaning berilgan nuqtadagi normal tenglamasini keltirib chiqaring
   
3. 
   Funksiyaning geometrik ma’nosini tushuntiring misollar keltiring
   
4. 
   Funksiyaning fizik ma’nosini tushuntiring misollar keltiring