Ольга Викторовна Вантеева Елена Николаевна Кравченко Математика программа, методические указания

Свойства неопределённого интеграла

1. 
   , ─постоянное число.
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   

Таблица основных интегралов

№	Формула	№	Формула
1		8
2		9
3	,	10
4		11
5	,	12
6		13
7		14

Пример 18 Найти интеграл .
Решение.

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а) , если ;
б) .


Пример 19 Найти интегралы.
а) ; б) ;
в) ;
г) .


Замена переменной в неопределённом интеграле
(метод подстановки)
Одним из основных методов интегрирования является метод замены
переменной, описываемый следующей формулой:
,
где ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.


Пример 20 Найти интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) ;

б) ;

в) ;

г)

Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
,
где ─ непрерывно дифференцируемые функции.
При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Пример 21 Найти интегралы:
a) ; б) ; в) .

Решение:

a)

б)

в)


Определенный интеграл
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница
.
Пример 22 Вычислить: .
Решение:

Формула интегрирования по частям





Пример 23

Площадь плоской фигуры
Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу ─ непрерывной кривой , слева ─ прямой , справа прямой , вычисляется по формуле
Пример 24 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение: Определим точки пересечения данных линий. Из уравнения прямой находим . Решим систему .
, , .
Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках А (-4;9) и В (6;4) (рисунок 6).

Рисунок 6 ─ фигура, ограниченная линиями .

Площадь фигуры равна

Задания для выполнения контрольной работ

Задание 1. Прямая линия на плоскости

В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC. Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB;
в) уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC;
г) построить чертеж.

№		№
1	А(–3; 9), В(4; –2), С(7; 6).	11	А(8; 1), В(–2; –1), С(4; –11)
2	А(2; 8), В(–6; –2), С(4; 2).