Ольга Викторовна Вантеева Елена Николаевна Кравченко Математика программа, методические указания

Кривые второго порядка
Эллипс
Каноническое уравнение эллипса , (1.6)
центр эллипса лежит в точке O^/(α,β), – большая полуось, – малая полуось эллипса.
Пример 2
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию

Решение: Выделим полные квадраты при и




Разделим уравнение на 100 .

Получили каноническое уравнение эллипса (1.6), точка центр данного эллипса, полуоси ,
Для построения кривой, в системе координат построим точку и проведём оси параллельно осям координат. Отложим от точки отрезки , в направлениях, парал­лельных и , оси эллипса , . В получившийся прямоугольник впишем эллипс (рисунок 2).

Рисунок 2 ─ График функции
Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям, имеет вид (1.7) или (1.8).
(1.7)
(1.8)
где – координаты центра гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось гиперболы.
Пример 3
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.

Решение: Выделим полные квадраты при и :


Разделим обе части уравнения на 225 , чтобы получить 1 в правой части .

Получили каноническое уравнение гиперболы (1.7) с центром в точке , и полуосями ,
В системе координат построим точку и проведём оси и параллельно осям координат. Построим основной прямоугольник гиперболы в системе координат , откладывая от точки отрезки , _, , . Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами гиперболы. Вершины гиперболы – точки и (рисунок 3).

Рисунок 3 ─ График функции