Ольга Викторовна Вантеева Елена Николаевна Кравченко Математика программа, методические указания

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х₀, или при х→∞, если её предел равен нулю
Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х₀ (или при х→х₀), если имеет место одно из равенств: .
Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х₀, то ─ бесконечно большая функция при х→х₀, и наоборот.

Первый замечательный предел . (3.5)

Второй замечательный предел . (3.6)
Пример 7 Найти предел
Решение: Поскольку функция непрерывна в точке , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим

Пример 8 Найти предел
Решение: При числитель стремится к пяти (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.

В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: _{, , , .}
Пример 9 Найти предел
Решение: При числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределённость вида _, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель .


Пример 10 Найти предел
Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение .


.
Пример 11 .
Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х² ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Пример 12
Найти предел
Решение: Приведём дроби к общему знаменателю:

Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределённость вида . Раскрывая эту неопределённость, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень , т. е. на :

Пример 13 Найти предел
Решение: При , а показатель степени стремится к , следовательно, имеем неопределённость вида .
Представим дробь в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины: .
Применим второй замечательный предел (3.6).