|
Elementar funksiyalarning umumiy ta’rifi va xossalari
Ma’lumki, asosiy elementar funksiyalar deb quyidagi funksiyalarga aytilgan:
−
oʻzgarmas funksiya,
( )
,
f x
c c
const
;
−
darajali funksiya,
( )
f x
x
,
const
;
−
koʻrsatkichli funksiya, ( )
(
0,
1)
x
f x
a
a
const
a
;
−
logarifmik funksiya,
( )
log
a
f x
x
(
0,
1)
a
const
a
;
−
trigonometrik funksiyalar,
( )
sin ,
( )
cos ,
( )
tg ,
( )
ctg
f x
x f x
x f x
x f x
x
;
−
teskari trigonometrik funksiyalar,
( )
arcsin ,
f x
x
( )
arccos ,
f x
x
( )
arctg ,
f x
x
( )
arcctg
f x
x
.
Asosiy elementar funksiyalar hamda ular orqali qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish,
boʻlish va kompozitsiya olish (murakkab funksiya tuzish) amallarini chekli marta
ishlatib hosil qilingan funksiyalar elementar funksiyalar deyiladi.
Masalan:
f x
x
va
,
g x
c
(
c
oʻzgarmas son) asosiy elementar
funksiyalardan chekli sondagi koʻpaytirish va qoʻshish amallari yordamida
312
10
1
0
...
n
n
P x
a x
a x
a
elementar funksiyani (koʻphadni, yoki polinomni) tuzish
mumkin. Koʻphadlar nisbati kasr-ratsional funksiya deyiladi. U ham elementar
funksiyadir.
arccos 2
1
sin
x
e
funksiya ham elementar. Matematik analiz kursida
quyidagi teorema isbotlanadi.
Teorema.
Har qanday elementar funksiya oʻz aniqlanish toʻplamida
uzluksizdir.
Elementar boʻlmagan funksiyalar ham mavjud. Masalan.
x
ning butun qismi
( )
[ ]
f x
x
elementar boʻlmagan funksiya, chunki u
x
da aniqlangan, lekin
m
butun nuqtalarda 1-tur uzilishga ega. Analiz kursida ushbu
2
0
0
1
1
sin
( )
, ( )
, ( )
, ( )
ln
x
x
x
x
t
t
e
t
t
f x
e
dt f x
dt f x
dt f x
dt
t
t
t
funksiyalarning ham elementar emasligi e’tirof etilgan.
Uzluksiz funksiyaar yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi, boʻlinmasi (maxraj
nolga aylanmaganda) va kompozitsiyasi (mavjud boʻlganda) uzluksiz funksiyadir.
Bunda funksiyalar bir yoki bir necha argumentlarga bogʻliq boʻlishi mumkin.
Masalan,
( , )
f x y
xy
,
2
( )
1
g x
x
,
( )
arctg
h x
x
funksiyalar uzluksiz boʻlgani
uchun ularning kompozitsiyasi boʻlmish
2
( , )
( ( ), ( ))
1arctg
u x y
f g x h y
x
y
funksiya ham uzluksizdir.
Oshkormas funksiya va
( , )
k
C U V
sinflar toʻgʻrisida ma’lumotlar
Ma’lumki,
X
toʻplamda aniqlangan
:
f
X
(haqiqiy) funksiya barcha
x
X
larga bittadan
( )
y
f x
sonni mos qoʻyadi. Funksiyani turli usullar bilan
berish mumkin, masalan, analitik usulda, ya’ni funksiya qiymatini hisoblash
formulasi yordamida:
2
4
2sin
( )
1,
( )
,
1
x
f x
x
x
f x
x
….(bu funksiyalar uchun
x
X
). Ba’zan funksiyalarni oshkormas koʻrinishda, ya’ni biror tenglamaning
yechimi sifatida berishga toʻgʻri keladi. Aytaylik,
2
0
x
y
e y
x
tenglama
berilgan boʻlsin. Tushunarliki, har bir
0
x
son uchun bu tenglama bir dona
2
1
x
x
y
e
yechimga ega, ya’ni berilgan tenglama
2
( ),
( )
(
0),
1
x
x
y
f x
f x
x
e
funksiyani bir qiymatli aniqlaydi. Bu holda
2
0
x
y
e y
x
tenglama
2
1
x
x
y
e
funksiyani oshkormas koʻrinishda (aniqlagan) bergan deyiladi.
Endi umumiyroq
( , )
0
F x y
tenglamani qaraylik (
( , )
F x y
ikki haqiqiy
argunentning haqiqiy funksiyasi). Agar biror
X
toʻplamdagi har bir
x
X
uchun bu tenglama yagona
( )
y
f x
yechimga ega boʻlsa (
( , ( ))
0,
F x f x
x
X
) ,
u holda
X
da aniqlangan
( )
y
f x
funksiya
( , )
0
F x y
tenglama bilan oshkormas
koʻrinishda berilgan deb yuritiladi. Agar
( , )
0
F x y
tenglama berilgan
x
larda
y
ga
nisbatan kamida ikkita yechimga ega boʻlsa, bu tenglamani qanoatlantiradigan
313
( )
y
f x
funksiyalar koʻp boʻladi va ularning bittasini ajratish uchun yechimdan u
yoki bu shartlarni talab qilish kerak boʻladi.
Masalan,
2
2
0
y
x
tenglamani qaraylik. Bu tenglama har bir
0
x
uchun
ikkita
y
x
yechimga ega. Ixtiyoriy
E
toʻplamga koʻra ushbu
, agar
bo'lsa,
( )
, agar
bo'lsa
E
x
x
E
f x
x
x
E
funksiyani tuzaylik. Ravshanki, har qanday
E
uchun
( )
E
y
f
x
,
x
,
funksiya qaralayotgan tenglamaning yechimi, ya’ni
2
2
0
y
x
tenglama cheksiz
koʻp
( )
E
y
f
x
yechimlarga ega. Bu tenglamaning uzluksiz yechimlari toʻrtta:
y
x
,
y
x
,
| |
y
x
va
| |
y
x
;
1
C
sinfga tegishli yechimlari esa ikkita:
y
x
va
y
x
. Agar tenglamaning
1
x
ga yetarlicha yaqin
x
lar uchun
1
y
ga yaqin
y
yechimlarini izlasak, u holda, ravshanki, bir dona
y
x
yechimni topamiz.
Oshkormas funksiya haqidagi teorema
( , )
0
F x y
tenglamaning biror
( )
y
f x
funksiyani oshkormas koʻrinishda aniqlashi uchun yetarli shartlarni beradi.
Teorema
(
oshkormas funksiya to‘grisidagi
)
.
Aytaylik,
1
0
.
0
0
( ,
)
0
F x y
,
2
0
.
F
funksiya
2
0
0
( ,
)
x y
nuqtaning biror atrofida
1
C
sinfga tegishli va
3
0
.
0
0
(
,
)
0
x y
F
y
bo‘lsin.U holda
0
x
nuqtaning shunday
U
va
0
y
nuqtaning shunday
V
atroflari mavjudki, har qanday
x
U
uchun
( , )
0
F x y
tenglama yagona
( )
y
f x
V
yechimga ega va
1
( )
( , )
f x
C U V
boʻladi.
Geometrik nuqtai nazardan bu teorema quyidagini anglatadi. Tekislikda
( , )
0
F x y
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar toʻplami
0
0
( ,
)
x y
nuqtasining
biror
U
V
koʻrinishdagi atrofida
( )
y
f x
oshkor koʻrinishda ifodalanadi (**
rasm).
** rasm.
Endi oshkormas funksiya haqidagi teoremaning umumlashgan koʻrinishini
keltiramiz. Bu teoremada ushbu
314
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( ,
,
,
,
,
,
,
)
0,
( ,
,
,
,
,
,
,
)
0,
( ,
,
,
,
,
,
,
)
0
m
n
m
n
n
m
n
F x x
x
y y
y
F x x
x
y y
y
F x x
x
y y
y
(1)
sistemadan
1
2
,
,
,
n
y y
y
oʻzgaruvchilarni
1
2
,
,
,
m
x x
x
oʻzgaruvchilarning silliq
funksiyalari sifatida topib olish uchun yetarli shartlar keltiriladi.
Teorema
(
oshkormas funksiyalar haqidagi
)
.
Faraz qilaylik, quyidagi uch
shart bajarilgan boʻlsin:
1
0
.
0
0
0
0
0
0
1
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
(
,
,
,
,
,
,
,
)
0
(
,
,
,
,
,
,
,
)
0
(
,
,
,
,
,
,
,
)
0
m
n
m
n
n
m
n
F x x
x
y y
y
F x x
x
y y
y
F x x
x
y y
y
,
2
0
.
(
1,2,
, )
j
F
j
n
funksiyalar
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
( ,
,
,
,
,
,
,
)
m n
m
n
x x
x y y
y
nuqtaning
biror atrofida
1
C
sinfga tegishli,
3
0
.
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
( ,
,
,
,
,
,
,
)
m n
m
n
x x
x y y
y
nuqtada
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
0
n
n
n
n
n
n
F
F
F
y
y
y
F
F
F
y
y
y
F
F
F
y
y
y
.
U holda
0
0
0
1
2
( ,
,
,
)
m
m
x x
x
nuqtaning shunday
m
U
va
0
0
0
1
2
(
,
,
,
)
n
n
y y
y
nuqtaning shunday
n
V
atroflari mavjudki, har qanday
1
2
( ,
,
,
)
m
x x
x
U
uchun
(1) tenglamalar sistemasi yagona
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
( ,
,
,
),
( ,
,
,
),
( ,
,
,
),
m
m
n
n
m
y
f x x
x
y
f x x
x
y
f x x
x
,
1
2
( ,
,
,
)
n
y y
y
V
,
yechimga ega va bu yerdagi
1
2
,
,
,
n
f f
f
funksiyalar
1
( , )
C U V
sinfga tegishli boʻladi.
Oshkormas funksiya haqidagi teoremaning xususiy holi boʻlgan teskari
funksiya haqidagi teoremani ham keltiraylik.
Qulaylik uchun yozuvda vektorlardan foydalanamiz.
f
vektor-funksiyaning koordinata funksiyalarini
1
2
( ,
,
,
)
n
f f
f
bilan
belgilaylik, ya’ni
1
2
( ,
,
,
)
n
f f
f
Do'stlaringiz bilan baham: |
