|
birlik
matritsa
deyiladi.
A
kvadrat
matritsaning teskarisi deb
AX
XA
E
tenglamalarni qanoatlan-
tiruvchi
X
matritsaga aytiladi.
A
ning teskarisi
1
A
bilan belgilanadi. Agar teskari
matritsa mavjud boʻlsa, u yagonadir .
10.
1
A
ning mavjud boʻlishi uchun
det
0
A
boʻlishi yetarli va zarurdir.
11.
Teskari matritsa quyidagi xossalarga ega:
1
1
1
1
1
1
1
;
; det
det
A
A
AB
B A
A
A
.
12.
[ ]
ij
A
a
matritsaning teskarisi
1
[
]
ij
A
quyidagi formulaga koʻra
hisoblanishi mumkin:
1
det
ij
ji
A
A
,
bu yerda
ji
A
son
A
dagi
ji
a
elementning algebraik toʻldiruvchisi.
13.
A
n n
matritsa va
b
vektor berilgan,
1
2
( ,
,...,
)
n T
x x
x
x
vektor esa
noma’lum boʻlsin. Agar
det
0
A
boʻlsa , u holda
A
x
b
chiziqli tenglamalar
sistemasi yagona
1
A
x
b
yechimga ega.
14.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasining oʻng tomoni nollardan iborat
boʻlgan ustundan iborat boʻlsa , u holda ushbu
0, 0
(0,0,...,0)
T
A
x
bir jinsli sistema
det
0
A
holdagina notrivial, ya’ni
0
x
yechimga ega boʻladi.
15.
Matritsaning Jordan (kanonik) koʻrinishi
.
Bizga kompleks sonlardan tuzilgan ushbu
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
n n
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
M
kvadrat matritsa berilgan boʻlsin. Agar
son uchun
A
v
v
(1)
shartni qanoatlantiruvchi nol-vektordan farqli
n
v
mavjud boʻlsa, u holda bu
yerdagi
soni
matritsaning xos soni (xarakteristik soni, xos qiymati), vektor
esa shu ga mos kelgan xos vektor (xarakteristik vektor) deyiladi. matritsa xos
vektorni xos songa koʻpaytiradi.
(1)
tenglamani
(2)
koʻrinishda yozaylik (
birlik matritsa). Bu tenglama xos vektorning
komponentalariga nisbatan chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini ifodalaydi. U
notrivial (
) yechimga ega boʻlishi uchun
A
v
A
v
(
)
0
A
E
v
( )
n n
E
M
v
0
v
319
(3)
shartning bajarilishi yetarli va zarurdir.
koʻphad
matritsaning xarakteristik koʻphadi, (3) tenglama esa matritsaning xarakteristik
tenglamasi deyiladi. Bu tenglama
ga nisbatan
darajali algebraik tenglamadir.
Demak, oliy algebraning asosiy teoremasiga koʻra
turli xos sonlar
mavjud boʻlib, ularning umumiy soni
karraliliklari bilan birgalikda ta
boʻladi, ya’ni
.
birlik matritsa bir dona
( karrali) xos songa ega va har qanday
noldan farqli vektor uning xos vektor boʻladi.
Ushbu
Jordan katagi (yozilmagan elementlar nolga teng) deb ataluvchi matritsa ham bir
dona
( karrali) xos songa ega, lekin uning bir dona xos vektori (skalyar
koʻpaytuvchi aniqligida) bor xolos.
Agar
haqiqiy matritsa
kompleks xos son va unga
mos
kompleks xos vektorga ega boʻlsa, u
qoʻshma kompleks
xos son va unga mos
qoʻshma kompleks xos vektorga ham ega boʻladi.
Agar
turli xos sonlar boʻlsa, u holda ularga mos
xos
vektorlar chiziqli erkli boʻladi. Agar
kompleks matritsaning ta turli
kompleks xos sonlari mavjud boʻlsa, u holda ularga mos xos vektorlar
chiziqli
fazoning bazisini tashkil etadi.
Agar
haqiqiy matritsa ta turli haqiqiy
xos sonlarga
ega boʻlsa, u holda ularga mos
haqiqiy xos vektorlar
haqiqiy chiziqli
fazoning bazisini tashkil etadi.
Agar biror
diagonal va biror
teskarilanuvchi
matritsalar uchun
(4)
boʻlsa, u holda
matritsa diagonallashtiriluvchi,
esa diagonallashtiruvchi
matritsa deb yuritiladi. Diagonallashtirilish sharti (4) ni
(5)
koʻrinishda yozish mumkin. Bu tenglikdan matritsa diagonalida matritsaning
xos sonlari joylashganligini,
matritsaning ustunlari esa mos xos vektorlardan
iborat ekanligini koʻramiz:
matritsa teskarilanuvchi boʻlgani uchun bu
xos vektorlar chiziqli
erkli boʻlishi kerak. Shunday qilib, diagonallashtiriluvchi matritsa boʻlishi uchun
uning ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega boʻlishi yetarli va zarurdir. Ma’lumki,
det(
)
0
A
E
( )
( )
det(
)
A
A
P
A
E
A
A
n
1
2
,
,
,
m
1
2
,
,
,
m
k k
k
n
1
2
1
2
( )
( 1) (
) (
)
(
) ,
m
k
k
k
n
A
m
P
1
2
,
1
m
j
k
k
k
n k
E
1
n
,
( )
1
1
1
n n
n
J
M
1
n
A
,
i
i
v
u
w
i
i
v
u
w
1
2
,
,
,
s
1
2
,
,
,
s
v v
v
( )
n n
A M
n
n
( )
n n
A M
n
1
2
,
,
,
n
1
2
,
,
,
n
v v
v
n
1
2
diag( ,
,
,
)
n
S
1
S AS
A
S
AS
S
A
S
1
2
[ ,
,
,
] ,
,
1,
, .
n
k
k
k
S
A
k
n
v v
v
v
v
S
1
2
,
,
,
n
v v
v
A
n
320
har qanday simmetrik haqiqiy matritsaning barcha xos sonlari haqiqiy va u
diagonallashtiriluvchi boʻladi.
Har qanday matritsa ham diagonallashtiriluvchi boʻlavermaydi. Lekin
ixtiyoriy matritsani Jordan matritsasi koʻrinishiga keltirish mumkin.
uzunlikli Jordan zanjiri deb ushbu
(6)
shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli
vektorlarga aytiladi (skalyar
koʻpaytuvchi aniqligida). Tushunarliki,
vektor
xos songa mos kelgan xos
vektordir. Qolgan
vektorlar (shu xos songa mos kelgan) umumlashgan xos
vektorlar deb yuritiladi. Agar
matritsa
karrali
xos songa ega boʻlsa, u
holda shu xos songa mos kelgan va uzunliklarining yigʻindisi
ga teng boʻlgan
Jordan zanjirlari mavjud boʻladi; bu zanjirlar soni
xos songa mos kelgan
chiziqli erkli vektorlar soni, ya’ni
ga teng. Barcha xos
sonlarga mos kelgan Jordan zanjirlarini topib va ularni birlashtirib, Jordan bazisi
tuziladi. Jordan bazisi
dona chiziqli erkli vektorlarni tashkil
etadi. Jordan bazisi vektorlarining komponentalarini
matritsaning ustunlarida
joylashtiramiz. U holda ushbu
(7)
matritsa matritsaning Jordan (kanonik) koʻrinishini beradi. Bu Jordan matritsasi
koʻrinishga ega; diagonalda Jordan kataklari joylashgan,
turli
kataklar diagonallarida bir xil yoki turli xos sonlar turadi, diagonallarida bir xil
son joylashgan kataklar soni ushbu
sistemaning chiziqli erkli yechimlari
soniga teng, boʻsh oʻrinlarda nollar yozilgan deb hisoblanadi.
(7) formuladan va determinantlar xossalaridan foydalanib quyidagilarni
yozamiz:
Demak,
va
matritsalarning xarakteristik tenglamalari bir xil. Shuning
uchun bu matritsalarning xos sonlari (karraliliklari bilan birgalikda) ham bir xil.
Do'stlaringiz bilan baham: |
