Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§ 11. Тулик дифференциалли тенгламалар.

Хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли тенгламанинг, ушбу

(11.1)
кўриниши билан танишамиз. Бу ерда ва функциялар сохада аникланган узликсиз, яъни
, , (11.1)
функциялар.
Таъриф-1.
Агар (11.1) тенгламанинг чап томони бирор функциянинг тўлик дифференциалидан иборат булса, у холда (11.1) тенглама тулик дефференциалли тенглама дейилади.
Агар (11.1) тенглама тулик дифференциалли булса, у холда унинг чап тарафи
(11.1)
кўринишда ёзилда. Бу холда функция (11.1)нинг ечими булиши учун, ушбу
(11.2)
шартнинг бажарилиши зарур ва етарлидир, чунки (11.1) да
(11.1)
мунасабат уринли бўлганлиги учун (11.1) ва (11.1) лардан
(11.3)
тенгликлар келиб чикади.
Фараз килайлик функция (11.1) тўлик дифференциалли тенгламанинг ечими бўлсин, у холда

ёки

келиб чикади, бу ерда (11.1’’) дан фойдаланиб топамиз. Бундан
келиб чикади.
Агар функция

тенгламанинг ечими булса, у холда уни дифференциаллаб

хосил киламиз . Бундан функция (11.1) нинг ечими экани келиб чикади.
Теорема-11.1
Агар бир богламали Г сохада , функциялар аникланган ва узлуксиз булиб
(11.4)
булса, у холда (11.1)-тулик дифференциалли тенглама булиши учун, ушбу
(11.5)
шартнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
Исбот. (Зарурлиги)
(11.1)- тулик дифференцалли тенглама булсин. У холда (11.3) уринли булади. Агар
(11.6)
муносабатни эътиборга олсак, у холда (11.3) дан

Теореманинг зарурий кисми исбот булди.