Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§5. Биринчи тартибли чизикли дифференциал тенглама.

Ушбу
(5.1)

куринишдаги тенгламага биринчи тартибли чизикли дифференциал тенглама дейилади.

Бу ерда a(x),b(x)C(a,b) - (а,b) да узлуксиз функциялар булсин.
Агар (5.1) тенгламада b(х)=0 булса, яъни
(5.1)
(5.1’) тенгламага - бир жинсли дифференциал тенглама дейилади, акс холда, яъни b(х) 0 булса, (5.1) тенглама бир жинсли булмаган дифференциал тенглама дейилади.
(5.1’) тенглама узгарувчилари ажраладиган тенгламадир. Унинг умумий ечими

(5.2)
куринишда ёзилади.
(5.1) - бир жинсли булмаган ДТнинг умумий ечимларини топишнинг бир канча усуллари мавжуд, лекин биз Лагранж усули билан танишамиз.
(5.1) ДТнинг умумий ечимини, ушбу
(5.3)
куринишда излаймиз. Бу ердаги С(х) - функция хозирча номалум функциядир. Тавсия этилаетган усулни узгармасни вариациялаш усули хам деб юритилади. (5.3) ни дифференциаллаб (5.1) тенгламага куйамиз:
топилган y - хосиланинг кийматини (5.1) тенгламага куямиз, натижада

(5.3) га асосан :

ёки

Бу эса узгарувчилари ажраладиган ДТдир:
(5.4)
Топилган С(х) - функциянинг кийматини (5.3) га куйиб берилган (5.1) тенгламанинг умумий ечимини топамиз:
(5.5)
ёки

Бу тенгликнинг биринчи хади:

бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини, иккинчи хади:

бир жинсли булмаган (5.1) тенгламанинг хусусий ечимини ифодалайди.
Эслатма. Агар y1(x), y2(x), y3 (x) - функциялар (5.1) чизикли тенгламанинг ечимлари булса, у холда
(5.6)
булади. Хакикатан хам (5.5) формулага асосан берилган ечимларни, ушбу
yj(x)=cjf(x)+g(x), j=1,2,3
куринишда езиш мумкин.
Бундан фойдаланиб (5.6) ни хисоблаймиз: