Оддий дифференциал тенгламалар хакида айрим маълумотлар

§3. Бир жинсли дифференциал тенглама.
Ушбу
(3.1)
дифференциал тенглама берилган булсин.
Агар функция
(3.2)
шартни каноатлантирса, у холда (3.1) ДТ га бир жинсли дифференциал тенглама дейилади.
(3.1) ДТ нинг умумий ечимини топиш учун (3.2) тенгликда

алмаштириш бажарамиз:
(3.3)
натижада (3.1) ДТ ушбу
(3.4)
куринишни олади.(3.4) ДТ да
(3.5)
алмаштиришни бажарамиз:


(3.6)
Бу эса узгарувчилари ажраладиган ДТ дир:
Фараз килайлик (u) функция а < u < b интервалда узликсиз булиб (u)  u булсин.
(3.6) ДТ да узгарувчиларни ажратамиз:
(3.7)
Бу ерда эски алмаштиришга кайтиб (3.4) ДТ нинг умумий ечимини топамиз.
Агар u0: (u) - u=0 тенгламанинг илдизи булса, у холда y=u0x - функция (3.4) ДТ нинг ечими булади.
Айрим холларда (3.4) тенгламанинг умумий ечимини топиш учун, кутб координаталари системасидан фойдаланиш максадга мувофикдир.
Хакикатан хам
x = rcos , y = rsin
десак, у холда


берилган тенглама

ёки

куринишни олади. Бу эса узгарувчилар ажраладиган тенгламадир.
§4. Бир жинсли тенгламага келтириладиган дифференциал тенгламалар.
Ушбу
(4.1)
дифференциал тенгламада f(u) функция бирор a < u < b интервалда узликсиз булсин. У холда (4.1) тенгламанинг умумий ечимини топиш учун., уни узгарувчилари ажраладиган ёки бир жинсли тенгламаларга келтирамиз. Бунинг учун куйидаги холларни куриб чикамиз:
1-хол. С1=С2=0 булсин, яъни (4.1) Д.Т.
(4.1)
куринишда булсин. Бу холда (4.1’) ни
(4.1)
куринишда езамиз. Бу эса §3 да урганилган бир жинсли тенгламадир.
2-Хол. Иккита
(4.2)
тугри чизик параллел булмасин, яъни (х1, у1) нуктада кесишсин. У холда координаталар бошини (х1, у1) нуктага кучирсак, берилган ДТ бир жинсли тенгламага келтирилади.
Тугри чизиклар кесишиш нуктасининг координаталари
, :
Формулалар ердамида топилади. Бу ерда

Ушбу
u=x-x1 x=u+x1 (4.3)
v=y-y1 y=y1+v
алмаштиришни бажарамиз, у холда
 (4.4)

чунки

Шундай килиб (4.1) ДТ ушбу

куринишни олади. Бу эса §3 да урганилган бир жинсли тенгламадир.


3 - Xол. Агар (4.2) тугри чизиклар узаро паралел, яъни

булса, у холда
a2=ka1 , b2=kb1 (4.5)
булади. (4.5) дан фойдаланиб (4.1) ни куйдаги куринишда езамиз :
(4.6)
Бу дифференциал тенглама
z=a1x+b1y
aлмаштириш ердамида узгарувчилари ажраладиган ДТ га келтирилади. Хакикатан хам

(4.6) дан

Бу эса узгарувчилари ажраладиган ДТдир, хакикатан хам

Агар b1=0 булса (4.6) тенглама узгарувчилари ажраладиган тенгламадир.