Общее определение оператора

Тадқиқот натижаларини мухокамаси
Олинган натижалар Қўқон Давлат Педагогика Институти физика-математика факультети математика кафедраси семинарида ўтказилган, хамда ЎзМУ механика –математика факультети дифференциал тенгламалар кафедраси семинарида мухокама қилинган. Бундан ташқари «Теория и практика современных гуманитарных и естественных наук». 4-6 февраля .2014г. Петропавлоск-Камчатский.Россия, XIV илмий-амалий конференцияда мухокама қилинган. Диссертации мавзуси бўйича иккита мақола ва битта тезис эълон қилинган.
Диссертациянинг хажми ва структураси
Диссертация кириш, учта боб, хулоса ва адабиётлар рўйхатидан иборат. Диссертациянинг хажми 74 бет.

I БОБ. СОДДА ОПЕРАТОР ТЕНГЛАМАЛАР

1.1.ОПЕРАТОРЛАР АЛГЕБРАСИ
1.1.1. ОПЕРАТОР ТУШУНЧАСИ
Бу бобда кўрилаётган назариянинг таянч нуқтаси бўлиб ўрама тушунчаси бўлади.
Таъриф: а (t) ва b(t) функцияларни ўрамаси деб қуйидаги c (t) интеграл билан аниқланаган функцияга айтилади

Мисоллар.
1. ,

2. .




1-машқ. Қуйидаги функцияларнинг ўрамаси ҳисоблансин:








Операцион ҳисобда интервалда аниқланган ва узлуксиз бўлган функциялар муҳим рол ўйнайди.Бу функциялар синфини С харфи билан белгилаймиз . С синфининг функциялари ҳақиқий ёки комплекс қиймат қабул қилиши мумкин. Юқорида кўрилган функциялар С синфга тегишли ва ҳақиқий қийматлар қабул қилади. С синфга тегишли комплекс қийматга эга функция мисол бўлиб, масалан функция бўлади. 1/t функция С синфга тегишли эмас, чунки у t=0 нуқтада узилишга эга.
Агар a(t) ва b(t) – С синфга тегишли бўлса, унда уларнинг ўрамаси хам С синфга тегишли, чунки у интервалда аниқланган ва узлуксиз.
Биринчи бобда биз фақат С синфга тегишли функцияларни қараймиз
2-машқ. Қуйидаги фукциялардан қайси бири С синфга тегишли:


Биринчи машқнинг натижаларидан кўриниб турибдики, ҳамма холларда ўраманинг қиймати a(t) ва b(t) функцияларнинг кетма-кетлигига боғлиқ эмас. Бу ихтиёрий a(t) ва b(t) функциялар жуфтлиги учун ўринли. Умумий ҳолда исботлаш учун қуйидаги формулани ўринли эканлигини исботлаш керак
(1.1.1)
Биринчи интегралда алмаштириш қилиб

Ҳосил қиламиз ва, демак (1.1.1) ўринли.
Исботланган хосса ўраманинг ўрин алмаштиришлиги ёки коммутативлиги дейилади. У арифметикадаги ихтиерий a ва b сонлар учун кўпайтма амалига нисбатан ўринли бўлган ab=ba ўрин алмаштиришлигини аналоги бўлади.
Ўрама ҳам сонларни кўпайтмасини ассоциативлигига ўхшаган хоссага эга:

Бу хоссани сонлар учун қуйидагича ифодалаш мумкин:
Агар ab=g ва bs=h, у холда gc=ah.
Худди шундай ўраманинг ассоциативли теоремасини ҳам таърифлаш мумкин:
Агар ва у холда

Исбот. Тенгликнинг ўнг томонига қўйсак

бундан


бу ерда тенгсизлик билан берилган икки каррали интеграл учбурчакли Т сохага тарқалади. Икки каррали интегралдан такрорланувчи интегралга қайтиб ва интеграллаш тартибини алмаштириб куйидагини ҳосил қиламиз.


Шундай қилиб ўраманинг ассоциативлиги исботланди.
Арифметикада кўпайтманинг асоциативлиги ўринли бўлганлиги учун учта a,b ва c сонларни кўпайтмасини abc кўринишда ёзиш мумкин. Хақиқатдан хам кўпайтмани (ab)c ёки a(bc) хисобласак фарқи йўқ. Худди шундай ўрамани хисоблаганда учта a(t), b(t) ва c(t) функцияларни кетма- кетлигини фарқи йўқ. Лекин учта функциянинг ўрамасини abc қўринишда ёзиш уларни кетма- кетлигини хисобга олмасдан жуда ноқулай агарда интеграл хисобнинг символикасидан фойдалансак.
Агар биз иккита a(t) ва b(t) функцияларни ўрамасини ёки ab символлар билан белгилашга келишсак, у ҳолда биз ёзувларни анча соддалаштирган бўламиз. Мос равишда учта a(t), b(t) ва c(t) функцияларни ўрамасини белгилашимизга асосан abc кўринишда ёзамиз.
Ўрама арифметикадаги кўпайтмага ўхшаб ассоциативлик ва коммутативлик хоссаларга эга бўлганлиги учун уларнинг формал хисоб-китоблари хам устма-уст тушади. Шу жихат операторли хисобда фундаментал рол ўйнайди. Арифметикада асосий амаллар қўшиш ва кўпайтириш бўлганлиги учун операторли хисобда асосий амаллар қўшиш ва ўрама бўлади.
Арифметикада бажарилаётган амаллардаги элементлар сонлардан иборат, операторли хисобда эса С синфга тегишли функциялар бўлади.
Ўрамани оддий кўпайтма шаклида ёзиш қандайдир икки маънолилик хатарини туғдиради . Масалан

Тенгликлар элементар алгебрада битта маънога эга, операторли хисобда эса бошқа маънога эга. Лекин икки маънолиликни зарари йўқ,чунки юқоридаги тенгликлардаги a, b ва c деб нимани тушунишимизга боғлиқ. Агар буларни сон деб қарасак оддий қўпайтма деб тушунамиз, агар функция десак ўрамани тушунамиз.
Коммутатилик ва ассоциативликдан ташқари ўрама учунчи асосий хоссага хам эга, қўшишга нисбатан дистрибутивлик:

Хақиқатдан хам,

Операторли хисобда оддий алгебрадаги символларни ишлатиш хисоб-китобларни анча енгиллаштиради, бу эса интегралларни қийин алмаштиришларини деярли механик хисоблашларга алмаштиришга имконият беради.
Тушунмовчиликлар хатари, агарда биз иккита ўзгармас функциялар ўрамасини қисқа кўринишда ёзсак, масалан символни арифметикада 6 га тенг бўлади, оператор хисобда эса функция бўлганда туғилади.
Кўпинча константага тенг бўлган функция ва сон тушунчасига бир хил белги ишлатилганда қийинчиликлар пайдо бўлади. Аниқ мантиқавий таърифларга берилмасдан буни геометрик нуқтаи назардан тушунтирамиз. Маълумки хақиқий сонларни геометрик тасвирлаш учун кўпинча сонли тўғри чизиқ ишлатилади. Хар қандай хақиқий сонга тўғри чизиқда битта нуқта тўғри келади, аксинча тўғри чизиқнинг хар бир нуқтасига битта хақиқий сон тўғри келади.
Агар сонларни тасвирлаш учун битта тўғри чизиқ етарли бўлса, у холда хақиқий қийматларга эга функция учун текислик етарли. Фигурада функцияни графиги кўрсатилган. Функция битта нуқта билан эмас, балки параболани ташкил қилаётган нуқталар тўплами билан ифодаланган. t тўғри чизиқдаги қандайдир нуқтани олсак, тўғри чизиқдаги қандайдир нуқтани хосил қиламиз. нуқтага мос сон, функциянинг нуқтадаги қиймати дейилади.
Бундан кўриниб турибдики, f(t) функция t нуқтада битта маънога эга. Агар f(t) комплекс қийматларни қабул қилса у холда геометрик тасвирлаш учун текислик етарли эмас. Бундан кўриниб турибдики, функция тушунчаси ва функциянинг қиймати устма-уст тушмайди. Классик математикада хар хил белги киритиш шарт эмас. Лекин замонавий математиканинг айрим бўлимларида, масалан функционал анализда, оператор хисобда бу фарқни аниқлаш зарур бўлади.
Энди f(t) символ деб функия эмас, функциянинг t нуқтадаги қийматини тушунамиз деб келишамиз. Функцияни фарқлаш учун {f(t)} символ билан белгилаймиз.
Бу келишувни схематик кўринишда қуйидаги тенгликлар ёрдамида ёзиш мумкин функция f(t)={f(t)}, f(t) функциянинг t=f(t) нуқтадаги қиймати.
Хусусан {2} символ константа функцияни билдиради, яъни t нуқтадаги қиймати 2 га тенг. Лекин 2 символни ўзи сонни билдиради. Геометрик нуқтаи назардан {2}, t ўқига параллел бўлган тўғри чизиқни билдиради, лекин 2 эса сонли чизиқдаги фиксирланган нуқта бўлади. Таъкидлаш лозимки, {2} функциянинг қиймати 2 га ихтиёрий t нуқта учун тенг ва бу чизмада y ўқидаги 2 нуқтада тасвирланган.
Келишувимизга асосан символ маъноси аниқ: бу 2 ва 3 сонларнинг оддий кўпайтмаси ва у 6га тенг. Лекин {2}{3} символ 2 функциянинг 3 функция билан ўрамасини билдиради, яъни 6t функцига тенг Шундай қилиб,

3-машқ. Юқорида киритилган белгилардан фойдаланиб формулаларни текширинг:

{1}{cos t}={sin t}
{1}{1}={t}

Куйидаги умумий формулалар ўринли


Биринчиси функцияларни йиғиндиси уларнинг қийматларини йиғиндисига тенг, иккинчиси эса аввал қабул қилинган келишувнинг натижаси бўлади.
Лекин хар доим функцияни {f(t)} кўринишда ёзиш жуда малол келади. Агар қандайдир функция хисоблашда бир неча учраса, унда уни битта харф билан белгилаш қулай, масалан
ва х.к.
Агар функция конкрет берилмаган бўлса, яъни {f(t)} умумий символ кўринишида бўлса, қисқартирилган ёзувда битта харф ишлатиш қулай:
f={f(t)}.
Қуйидаги белгилашларни киритиш мумкин

ва х.к. Агар m ва n-натурал сонлар бўлса,унда қуйидаги умумий формулалар ўринли:

булар элементар алгебрадагига ўхшаб исботланади.