Оb'ektda turli xil buzilishlar bo'ladi, o'lchov qiymatining og'ishi hisoblanganidan oshmaydi

va izoklin tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

ya’ni to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

K_p=0 (regulyator yo'qligi) va k_p=1 м^-1 ni hisoblash natijalari 9.2, a va b navbati bilan. Ko'rib turganimizdek, ikkala holatda ham fazo traektoriyalari, ular ruxsat etilgan mintaqaning qaysi nuqtasida (chiziqlar bilan) boshlanganligidan qat'i nazar, koordinatalar boshlanishiga moyil, ya'ni. muvozanat holati umuman asemptomatik ravishda barqaror. Biroq, traektoriyalarning kelib chiqishiga yaqinlashish tabiati boshqacha. Barcha fazalar traektoriyalari sek. 9.2, va dastlab ularda 1,443 burchak koeffitsienti bo'lgan bitta umumiy tangents mavjud (bu nuqta-chiziq bilan ko'rsatilgan). Bunday muvozanat nuqtasi barqaror tugun deb nomlangan (agar tugun beqaror bo'lsa, fazo traektoriyalari to'rdan chiqib ketar edi). Bunday holda tizimning to'g'ri harakati tebranishsizdir. Shaklda 9.2, 6, fazali traektoriyalar, spirallarning kelib chiqish joyiga o'ralgan shakliga ega, bu esa to'g'ri harakatning tebranish xususiyatini ko'rsatadi. Bu holda muvozanat nuqtasi barqaror fokus deyiladi.

9.3. Muvozanat holatining barqarorligini o'rganish Lyapunov usullari.

9 9.2-da aytilgan barqarorlik kontseptsiyasini rus matematiki A.M. Lyapunov; 1892 yilda u chiziqli bo'lmagan tizimlarning harakat barqarorligini (xususan, muvozanat holatini) o'rganish usulini nashr etdi, bu ularning differentsial tenglamalarini echishni talab etmaydi. Usulning mohiyati davlat o'zgaruvchilari funktsiyasining maxsus shaklini shakllantirishdan iborat,V (z_l,z₂, ..., z_n) 'Lyapunov funktsiyasini chaqirdi. Ushbu funktsiya ijobiy aniq, ya'ni. quyidagi xususiyatlarga ega: doimiy va muayyan mintaqadagi barcha dastlabki hosilalari bilan birga o'z ichiga olgan koordinatalarning kelib chiqishi; uning boshlang'ich qiymati nolga teng; ko'rsatilgan mintaqaning hamma joyida, kelib chiqishi bundan mustasno, ijobiy hisoblanadi. Ijobiy aniq funktsiya Lyapunov funktsiyasiga aylanadi, agar ko'rsatilgan funktsiyaning umumiy vaqt hosilasi ko'rsatilgan mintaqaning har bir qismida shartni qondirsa:

Agar o'rganilayotgan tizim uchun Lyapunov funktsiyasini qurish mumkin bo'lsa, muvozanat holati barqaror bo'ladi; agar bundan tashqari hosilasi (9.6) faqat kelib chiqishi bilan yo'qolsa, muvozanat holati asemptomatik ravishda barqaror bo'ladi. H (R) barqarorlik mintaqasida (9.1-rasmga qarang) Lyapunov funktsiyasi uchun yuqoridagi talablar qondirilishi tabiiydir.