Оb'ektda turli xil buzilishlar bo'ladi, o'lchov qiymatining og'ishi hisoblanganidan oshmaydi

Мisol. Keling, misolda ko'rib chiqilgan tartibga solish tizimining barqarorligini tahlil qilaylik:

§9.2 k_p=1 m^-1.

Tizim holatining tenglamalari allaqachon shaklda topilgan:

V (z₁,z₂) funktsiyasi yuqorida keltirilgan dastlabki uchta talabni qondirganligi sababli, V (z₁,z₂)=. funktsiyasini tanlashga harakat qilamiz; Ushbu funktsiyaning to'liq hosilasi (9.6) quyidagi shaklga ega:

z₁≥4, z₁-1, 1, z₂-1 mavjudlik mintaqasiga tegishli nuqtalarda tanlangan hisoblash shuni ko'rsatadiki, ushbu lotin ko'rsatilgan mintaqaning hamma joyida salbiy hisoblanadi; chunki u faqat kelib chiqishi bilan yo'qoladi, chunki tizimning muvozanat holati umuman asemptomatikdir. Ushbu misol muvozanat holatining barqarorligini o'rganish uchun aniq geometrik izoh beradi. Unda ishlatiladigan Lyapunov funktsiyasini ma'lum bir doimiy songa tenglashtirsak, fazoviy tekislikda (9.2-rasm, b) t vaqtidagi ba'zi bir traektoriyaning A nuqtasi bilan bog'liq bo'lgan z₁=v radius + doiraning tenglamasini olamiz. Vaqt o'tishi bilan, A tasvirlangan nuqta traektoriya bo'ylab harakatlanmoqda va aylana bo'ylab harakatlanmoqda, shu bilan birga radiusni o'zgartiradi. Agar tizimlarning muvozanat holati barqaror bo'lsa, tasvir nuqtasi kelib chiqishga yaqinlashadi va aylana radiusi pasayadi va shuning uchun qiymat kamayadi v (z₁z₂) funktsiyasi shu tarzda, barqaror muvozanat holatida, bu funktsiya Lyapunov usulining shartini talab qiladigan salbiy vaqt hosilasiga ega.

Afsuski, shakllangan barqarorlik mezoni etarli, ammo agar Lyapunov funktsiyasi topilsa, muvozanat holati so'zsiz barqaror, ammo agar bunday funktsiyani olishning iloji bo'lmasa, unda barqarorlik to'g'risida aniq hech narsa aytilmaydi. Shunga qaramay, to'g'ridan-to'g'ri yoki ikkinchi Lyapunov usuli deb nomlangan barqarorlikni o'rganish uchun ko'rib chiqilgan usul bir qator amaliy echimlarni muvaffaqiyatli hal qilishda muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda va eng muhimi, chiziqli bo'lmagan tizimlarning individual sinflari harakatlarini barqarorligini o'rganish uchun muhandislik usullarini ishlab chiqish uchun asos bo'lib xizmat qildi.

Ikkinchi (to'g'ridan-to'g'ri) Lyapunov usulining natijasi, avval qurilgan chiziqli modelga ko'ra kichik bo'lgan tizimda bo'lmagan chiziq tizimining muvozanat holatini o'rganish uchun foydalaniladigan birinchi Lyapunov usuli; shu bilan biz ushbu usulni avvalgi barcha boblarda qo'lladik. Chiziqli bo'lmagan dinamik tizim holatining tenglamalari tizimiga (2.1) qaytamiz va funktsiyalarning o'ng tomonini Teylor qatoriga (masalan, bunday kengayish mumkin deb faraz qilamiz) muvozanat rejimi nuqtasi qo'shnisida, faqat chiziqli atamalar bilan cheklaymiz; natijani matritsa shaklida yozing