Nuqta harakatining tenglamalari va trayektoriyasi

3-masala. Radius-vektori berilgan tenglamaga asosan o’zgaradigan ( va e – berilgan o’zgarmas vektorlar, i va j – koordinata o’qlarining birlik vektorlari) nuqtaning treyaktoriyasi chizilsin.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Yechish. 1) = ₀ + , x = x₀+ e_x ,
y = y₀+ e_y t=
y – y₀ = (x-x₀) .

Javob: e vektorga parallel bo’lib boshlang’ich M₀(r₀) nuqtadan o’tadigan yarim to’g’ri chiziq.
2) = ₀ + cost , ≤1,
x₀ - e_x ≤ x ≤ x₀ + e_x, y₀ – e_y ≤ y ≤ y₀ + e_y
y – y₀ = (x-x₀) .

Javob:
e vektorga parallel holda M(r₀) nuqtadan o’tadigan M₀M₁ to’g’ri chiziq kesmasi. Boshlang’ich nuqtasi M₀(r₀+e); ikkinchi chekka nuqtasi M₁(r₀-e). Radius-vektorining oxirgi uchi t da trayektoriyaning har bir nuqtasidan cheksiz ko’p marotaba o’tadi.

3) cos bsin
x= cos , y= bsin
+ =1 -- ellips.
Javob: + =1 - ellipsning yuqori qismidan iborat bo’ladi. Nuqta ellipsning chap uchidan harakatlana boshlaydi va o’ng uchiga monoton yaqinlashib boradi.
4-masala. Nuqta harakatining berilgan tenglamalariga qarab uning trayektoriyasi tenglamasi topilsin: shuningdek, masofani nuqtaning boshlang’ich holatidan hisoblab, nuqtaning trayektoriya bo'ylab harakatlanish qonuni ko’rsatilsin.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Yechish. Nuqtaning harakat tenglamasini uning parametrik ko’rinishda berilgan trayektoriya tenglamasi kabi ko’rish mumkin. Shuning uchun harakat tenglamasini quyidagi:
(1)
koordinatali ko’rinishda trayektoriya tenglamasini yozishimiz mumkin, (1) tenglamalar sistemasidan t topish yetarli. Nuqtaning harakat qonunini aniqlash uchun trayektoriya bo’ylab tekislik yoyi differensialining ma’lum formulasi ds qo’llaniladi.
(2)
Masala shartida berilgan tenglamadan

1. 
   yoki
   

ni topamiz. Hosil bo’lgan tenglama – to’g’ri chiziq tenglamasi. Boshlang’ich nuqta koordinatalarini bo’lgan holdagi harakat tenglamasidan topamiz. (2) formuladan yoy differensialini hisoblaymiz:

va trayektoriya bo’yicha nuqta harakat qonunini yozamiz:

2. 
   
   

Hosil bo’lgan tenglama – markazi koordinatalar boshida joylashgan, radiusi bo’lgan aylana tenglamasi. Boshlang’ich nuqta koordinatalarini bo’lgan holdagi harakat tenglamasidan topamiz. (2) formuladan yoy differensialini hisoblaymiz:


va trayektoriya bo’yicha nuqta harakat qonunini yozamiz:

3. 
   yoki
   

Hosil bo’lgan tenglama – to’g’ri chiziq kesmasi ( ). Boshlang’ich nuqta koordinatalarini bo’lgan holdagi harakat tenglamasidan topamiz. (2) formuladan yoy differensialini hisoblaymiz:


va trayektoriya bo’yicha nuqta harakat qonunini yozamiz:

4. 
   
   

Hosil bo’lgan tenglama – markazi koordinatalar boshida joylashgan, radiusi bo’lgan aylana tenglamasi. Boshlang’ich nuqta koordinatalarini bo’lgan holdagi harakat tenglamasidan topamiz. (2) formuladan yoy differensialini hisoblaymiz:


va trayektoriya bo’yicha nuqta harakat qonunini yozamiz:

5-masala. Ko’prikli kran ustaxona bo’ylab tenglamaga muvofiq harakatlanadi; aravacha kran bo’ylab ( va metrlar, sekundlar hisobida) tenglamaga muvofiq ko’ndalang yo’nalishda g’ildirab boradi. Zanjir m/s tezlik bilan qisqaradi. Yuk og’irlik markazining trayektoriyasi topilsin; boshlang’ich paytda yukning og’irlik markazi Oxy gorizontal tekislikda bo’lgan; o’qi vertical ravishda yuqoriga yo’nalgan.