Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika matematika fanlar fakulteti

Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba’zi bir xossalarini quyida keltiramiz.
1-teorema. [a, Ь] segmentda monoton kamaymaydigan har qanday f(x) funksiya shu segmentda ulchovli, chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
I s b o t . haqiqatan, f(x) funksiyaning [a, b] segmentda monotonligidan xar qanday x [a, b] uchun
f(a)≤ f(x)≤f(b)
tengsizlik urinli. Bundan f(x ) funksiyaning [a, b] segmentda chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning ulchovli ekanini kursatamiz. Shu maqsadda istalgan d haqiqiy son uchun ushbu
E_d = {x:f(x)
tuplamni saraymiz. f(x) funksiyaning monotonligidan f(x) < d tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bulsa, E_d tuplam yoki Id, s] segment yoki [d, s) yarim segment kurinishidagi tuplam ekanligi kelib chiqadi. Bu esa E_d tuplamning ulchovli ekanligini kursatadi. Bundan f(x) funksiyaning ulchovli ekanligi kelib chiqadi. Endi 1-teoremaga asosan f(x) funksiya [a, b] segmentda jamlanuvchi buladi.
2-teorema. Monoton funksiyaning uzilish nutstala-ri faqat birinchi turdagi bulishi mumkin.
I s b o t . Xaqiqatan, x₀ [a, b] ixtiyoriy nuqta bulib, { x_n}
(x_n [a, b], n = 1 ,2, . . . ) ketma-ketlik x₀ nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya’ni x_p x₀ 0. 1-teoremaga asosan {f(x_n)} ketma-ketlik quyidan va yuqoridan mos ravishda f(a) va f(b) sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi monoton ketma-ketlikning limita haqidagi teoremaga asosan bunday ketma-ketlik limitga ega. f{x) funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu bilan f(x₀ 0) ning mavjudligi isbotlandi. f(x₀ + 0) ning mavjudligi shunga uxshash isbotlanadi.*