Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika matematika fanlar fakulteti

Yuqorida isbotlangan teoremalarni va ularning natijalarini misollar yechishga qo‘llaylik. 1-misol. toping.
Yechish. ketma-ketlikning surat vamaxraji uzoqlashuvchi ketma-ketliklarni ifodalaydi, ya’ni ular chegaralanmagan. Shuning uchun ketma-ketlikning limitini hisoblashga to ‘g‘ridan to ‘g‘ri bo‘linmaning limiti haqidagi teoremani qo‘llab bo‘lmaydi. Bunday holda ketma-ketlikning limitini hisoblashga teoremalarni qo‘llash uchun uning ko‘rinishini o‘zgartiramiz. Buning uchun kasrning surat va maxrajini n ga bo‘lamiz. Bu bilan kasming m iqdori o ‘zgarmaydi.

Quyidagi limitlar ham yuqoridagiga o ‘xshash hisoblanadi.
2 m i s o 1 .

3-misol.

2. 
   ^{Biror {x}_n^{} ketma- ketlik berilgan bulsin.}
   

^{10.9 - ta’rif. Agar {x}_n^{} ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lsa, u xolda {x„} yakinlashuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Agar ketma-ketlikning limiti chekli bo’lmasa yoki ketma-ketlik limitga ega bdlmasa, uni uzotslashuvchi ketma-ketlik. deb ataladi.
Masalan,
, … .
ketma- ketlik yaqinlashuvchi ketma- ketlik bo’ladi,
1, - 1 , 1, - 1 , … ,
1, 2 , 3 , … n, …
ketma-ketliklar esa uzoqlashuvchi ketma-ketliklar bo’ladi.
Endi yakinlashuvchi ketma-ketliklarning sator xossalarini keltiramiz. Bunday xossalarning isboti ketma-ketlikning limiti ta’rifiga xamda yuqorida keltirilgan lemmalar va teoremaga asoslanadi. Shuni e’tiborga olib, bu xossalarning ba’zilarini isbotlaymiz.
1°. Agar {x}_n^{) ketma-ketlik yatsinlashuvchi bo’lsa, u chegaralangan beradi.
2°. Agar {x}_n^{} ketma-ketlik yakinlashuvchi bulsa, uning limiti yagona bo’ladi.
Aytaylik, ikkita {x}_n^{} va {y}_n^{} ketma- ketliklar berilgan bo’lsin. 3°. Agar {x„} va {y}_n^{} ketma-ketliklarning har biri yakinlashuvchi bo’lib,
x}_n ^{= y}_n ^{(n=1, 2 . 3, . . .) bo’lsa, u holda
limx}_n = lim y_n ^{bo’ladi.
4°. Agar {x}_n^{} va {y}_n^{} ketma-ketliklar yakinlashuvchi bo’lib,
bo’ladi.
lim x}_{n <}^{lim y}_n ^bo’ladi.
_{5°. Agar {x„} va {}y_{n} ketma-ketliklar yakinlashuvchi bo’lsa, u xolda {}x_{n +} y_{n} ketma-ketlik %am yaqinlashuvchi bo’lib,
lim (}x_{n +} y_{n) =limxn + lim yn bo’ladi.
5°-xossaning isboti. {}x_{n} va \}y_{n} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib,}